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1高二数学周考卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列,则am+cn等于()A.4B.3C.2D.12.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为()A.4B.14C.-4D.-143.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=()A.2B.73C.83D.34.已知数列{an}的前n项和为Sn,且15Sn=an-1,则a2等于()A.-54B.54C.516D.25165.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=()A.7B.8C.15D.166.若数列{an}的通项公式为an=n(n-1)·…·2·110n,则{an}为()A.递增数列B.递减数列C.从某项后为递减D.从某项后为递增7.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{Snn}的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-668.设数列{an}的前n项和为Sn,已知15a,且12(1)(1)nnnSnnnS(n∈N*),则过点P(n,na)和Q(n+2,2na)(n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()A.(2,21)B.(-1,-1)C.(21,-1)D.(2,21)9.在等比数列{an}中,若a3a5a7a9a11=32,则a29a11的值为()A.4B.2C.-2D.-410.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则使得anbn为整数的正整数n的个数是()2A.2B.3C.4D.511.已知{an}是递增数列,对任意的n∈N*,都有an=n2+λn恒成立,则λ的取值范围是()A.(-72,+∞)B.(0,+∞)C.(-2,+∞)D.(-3,+∞)12.已知数列{an}满足an+1=12+an-a2n,且a1=12,则该数列的前2008项的和等于()A.1506B.3012C.1004D.2008二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)13.已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时,若a6=1,则m所有可能的取值为________.14.已知数列{an}满足a1=12,an=an-1+1n2-1(n≥2),则{an}的通项公式为________.15.已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn(n∈N*).若a11,a43,S3≤9,则通项公式an=________.16.下面给出一个“直角三角形数阵”:1412,1434,38,316…满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i行第j列的数为aij(i≥j,i,j∈N*),则a83=________.3三、解答题17.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.⑴求数列{an}与{bn}的通项公式.⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有1332211nnnabcbcbcbc,求c1+c2+c3+…+c2010的值.18.(本小题满分12分)已知数列{an}中,其前n项和为Sn,且n,an,Sn成等差数列(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn57时n的取值范围.19.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a≠0),不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,设数列{an}的前n项和为Sn=f(n).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设各项均不为0的数列{cn}中,满足ci·ci+10的正整数i的个数称作数列{cn}的变号数,令cn=1-aan(n∈N*),求数列{cn}的变号数.420.(本小题满分12分)已知数列{an}满足:a1=1,a2=12,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n-1]=0,n∈N*.(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式;(2)设bn=a2n-1·a2n,求数列{bn}的前n项和Sn.21.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Snn)在直线y=12x+112上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),b3=11,且其前9项和为153.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=3(2an-11)(2bn-1),数列{cn}的前n项和为Tn,求使不等式Tn>k57对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.22.(本小题满分14分)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N).(1)试判断数列{1an}是否为等差数列;(2)若λan+1an+1≥λ,对任意n≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.5参考答案一、选择题CABDCDDDBDDA二、填空题13、4,5,3214、an=54-2n+12n(n+1)15、n+116、12三、解答题17.⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d0)解得d=2,∴an=2n-1,bn=3n-1.⑵当n=1时,c1=3当n≥2时,∵,1nnnnaabc∴)2(32)1(31nncnn故132nnc20042003220042133232323ccc18.解:(1)∵n,an,Sn成等差数列,∴Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2),∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1(n≥2),∴an=2an-1+1(n≥2),两边加1得an+1=2(an-1+1)(n≥2),∴an+1an-1+1=2(n≥2).又由Sn=2an-n得a1=1.∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,∴an+1=2·2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)由(1)知,Sn=2an-n=2n+1-2-n,∴Sn+1-Sn=2n+2-2-(n+1)-(2n+1-2-n)=2n+1-10,∴Sn+1Sn,{Sn}为递增数列.由题设,Sn57,即2n+1-n59.又当n=5时,26-5=59,∴n5.∴当Sn57时,n的取值范围为n≥6(n∈N*).19.解:(1)由于不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素,∴Δ=a2-4a=0⇒a=4,故f(x)=x2-4x+4.由题Sn=n2-4n+4=(n-2)2则n=1时,a1=S1=1;6n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5,故an=1n=1,2n-5n≥2.(2)由题可得,cn=-3n=11-42n-5n≥2.由c1=-3,c2=5,c3=-3,所以i=1,i=2都满足ci·ci+10,当n≥3时,cn+1cn,且c4=-13,同时1-42n-50⇒n≥5,可知i=4满足ci、ci+10,n≥5时,均有cncn+10.∴满足cici+10的正整数i=1,2,4,故数列{cn}的变号数为3.20.解:(1)经计算a3=3,a4=14,a5=5,a6=18.当n为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列,∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1.当n为偶数时,an+2=12an,即数列{an}的偶数项成等比数列,∴a2n=a2·(12)n-1=(12)n.因此,数列{an}的通项公式为an=n(n为奇数),(12)n2(n为偶数).(2)∵bn=(2n-1)·(12)n,∴Sn=1·12+3·(12)2+5·(12)3+…+(2n-3)·(12)n-1+(2n-1)·(12)n,①12Sn=1·(12)2+3·(12)3+5·(12)4+…+(2n-3)·(12)n+(2n-1)·(12)n+1,②①②两式相减,得12Sn=1·12+2[(12)2+(12)3+…+(12)n]-(2n-1)·(12)n+1=12+12·[1-(12)n-1]1-12-(2n-1)·(12)n+1=32-(2n+3)·(12)n+1.7∴Sn=3-(2n+3)·(12)n.21.解:(1)由已知得Snn=12n+112,∴Sn=12n2+112n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n2+112n-12(n-1)2-112(n-1)=n+5;当n=1时,a1=S1=6也符合上式.∴an=n+5.由bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)知{bn}是等差数列,由{bn}的前9项和为153,可得9(b1+b9)2=9b5=153,得b5=17,又b3=11,∴{bn}的公差d=b5-b32=3,b3=b1+2d,∴b1=5,∴bn=3n+2.(2)cn=3(2n-1)(6n+3)=12(12n-1-12n+1),∴Tn=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1).∵n增大,Tn增大,∴{Tn}是递增数列.∴Tn≥T1=13.Tn>k57对一切n∈N*都成立,只要T1=13>k57,∴k<19,则kmax=18.22.解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得1an-1an-1=3(n≥2),故数列{1an}是等差数列.(2)将an=1bn=13n-2代入λan+1an+1≥λ并整理得λ(1-13n-2)≤3n+1,8∴λ≤(3n+1)(3n-2)3n-3,原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立.设Cn=(3n+1)(3n-2)3n-3,则Cn+1-Cn=(3n+1)(3n-4)3n(n-1)0,故Cn+1Cn,∴Cn的最小值为C2=283,∴λ的取值范围是(-∞,283].
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