2012届高考数学理一轮复习 2.4 二次函数精品课件 新人教A版

第八节二次函数要点1：求二次函数的解析式利用已知条件求二次函数解析式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求f(x)解析式．1．已知三个点坐标时，宜用一般式．2．已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．3．若已知抛物线与x轴有两个交点，且横轴坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．【例1】：已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．解：依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15(a0)，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋15a.而x13＋x23＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝23－3×2×(1＋15a)＝2－90a，∴2－90a＝17，则a＝－6.∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.即时训练已知二次函数f(x)的二次项系数为a，满足不等式f(x)－2x的解集为(1,3)，且方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式．[思路探究]f(x)与f(x)＋2x的二次项系数相等，由f(x)＋2x0的解集为(1,3)，可设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)．[课堂记录]∵f(x)与f(x)＋2x的二次项系数相等，∴f(x)＋2x的二次项系数为a.又∵f(x)＋2x0的解集为(1,3)，∴设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a0)，∴f(x)＝a(x2－4x＋3)－2x＝ax2－(4a＋2)x＋3a.∵方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，∴ax2－(4a＋2)x＋9a＝0有两个相等实根．∴[－(4a＋2)]2－36a2＝0，解得a＝1(舍)，a＝－15.∴f(x)＝－15x2－65x－35.要点2：二次函数的最值二次函数求最值问题，首先用配方化为y=a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，或者画出草图。常见的有三种形式：（1）顶点固定，区间也固定；（2）顶点含有参数（即顶点为动点），区间固定，这是要讨论顶点横坐标何时在区间之间，何时在区间之外；（3)顶点固定，区间变动，这是要讨论区间中的参数。【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．解：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1对称轴方程为x＝a.(1)当a0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝1±52(舍)．(3)当a1时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.即时训练已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式．[思路探究]所求二次函数图象固定，区间变动，可考虑区间在变动过程中二次函数的单调性，求函数在区间上的最值．[课堂记录]如右图所示，∵函数图象的对称轴为x＝－32，(1)当t＋1≤－32，即t≤－52时，h(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋3(t＋1)－5，即h(t)＝t2＋5t－1(t≤－52)．(2)当t≤－32t＋1，即－52t≤－32时，h(t)＝f(－32)＝－294.(3)当t－32时，h(t)＝f(t)＝t2＋3t－5.综上可得，h(t)＝t2＋5t－1(t≤－52)，－294(－52t≤－32)，t2＋3t－5(t－32).总结：讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值。要点3：二次函数的综合问题二次函数常和二次方程、二次不等式结合在一起．三个“二次”以二次函数为核心，通过二次函数的图象贯穿为一体，因此，解题时通过画二次函数的图象来探索解题思路是非常行之有效的方法．对于通过换元可转化为二次函数的问题，要注意中间变元的取值范围，它是转化后二次函数的定义域．[例3]设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围．[思路探究]分a0，a0，a＝0三种情况讨论，并使每种情况下在(1,4)上最低点函数值或最小值大于或等于零，从而求得a的取值范围．[课堂记录]卷中[思维拓展]本例常见的错误：①易丢掉对a＝0时的情况的讨论．②当a0时，未对对称轴的位置加以分类讨论，从而导致解答失误，失误的原因是对二次项系数或对称轴的各种情况考虑不全面．即时训练已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)若不等式f(x)0的解集为{x|1x2}，求a，b的值；(2)若方程f(x)＝0有一根小于1，另一根大于1，当b－6且b为常数时，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知方程－3x2＋a(6－a)x＋b＝0的两根为1和2，则1＋2＝a(6－a)31×2＝－b3⇒a＝3b＝－6.(2)∵－30，由图知，只需f(1)0便可满足题意．∴－3＋a(6－a)＋b0⇔a2－6a＋3－b0⇔3－b＋6a3＋b＋6.二次函数是一种常考常新的“老函数”，特别是二次函数的图象以及单调性是高考的常考内容，2010年全国高考卷Ⅰ将二次函数的概念、性质、图象与一元二次不等式的解法相结合，考查学生灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的能力，符合新课标的要求，是一个新的考查方向．1(2010·全国卷Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．[解析]如右图所示，作出y＝x2－|x|＋a的图象，若要使y＝1与其有四个交点，则需满足a－141a，解得1a54.故填(1，54)．[答案](1，54)[评析]本题考查函数的图象和不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想方法．把原问题改编为：直线y＝1－a与曲线y＝x2－|x|有四个交点，求实数a的取值范围，你会解答吗？●思悟小结1.二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.数学思想：分类讨论，数形结合。谢谢再见！3.两个正根Δ≥0－b2a＞0f0＞0⇔Δ≥0x1＋x2＝－ba＞0x1x2＝ca＞04.两个负根Δ≥0－b2a＜0f0＞0⇔Δ≥0x1＋x2＝－ba＜0x1x2＝ca＞05.一正一负根Δ≥0f0＜0⇔Δ＞0x1x2＝ca＜06.恰有一根为零Δ＞0f0＝07.在开区间(m，n)内有两个实根Δ≥0fm＞0fn＞0m＜－b2a＜n8.在开区间(m，n)内恰有一个实根f(m)f(n)＜0或Δ＝0m＜－b2a＜n9.在闭区间[m，n]内有两个实根Δ≥0fm≥0fn≥0m＜－b2a＜n10.在闭区间[m，n]内恰有一个实根f(m)f(n)＜0或Δ＞0fm＝0－b2a＜m或－b2a＞n或Δ＞0fn＝0－b2a＜m或－b2a＞n或Δ＝0m≤－b2a≤n11.没有实数根Δ＜0④f(x)＞0恒成立⇔a＞0，Δ＜0或a＝b＝0，c＞0；f(x)＜0恒成立⇔a＜0，Δ＜0或a＝b＝0，c＜0.题型五二次方程的实根分布问题例5(1)方程x2－2ax＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围是________．(2)方程x2－2ax＋4＝0的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实数a的取值范围是________．变式迁移5方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．解析解法一：运用韦达定理设x1，x2为方程x2－2ax＋4＝0的两根，则有x1＋x2＝2a，x1·x2＝4①要使原方程x2－2ax＋4＝0的两根x1，x2均大于1，则需满足x1－1＋x2－1＞0x1－1x2－1＞0Δ≥0将①代入上述不等式，解之得2≤a＜52.