单位脉冲函数及其傅氏变换

17.2.2单位脉冲函数及其傅氏变换在工程技术中,除了经常用到还经常用到例如某一时刻进入一单位单位脉冲函数.电量的脉冲,电路中的电荷函数()qt=10t=0t≠0电路中的电流强度()it不可能用现有为了确定电路中的电流强度,必须引进一个新的函数,这个函数称为狄拉克函数,δ—函数简单记为δ函数.它没有普通意义的函数值,但是它在工程技术中有非常重要的应用.在积分变换中,一些基本初等函数必须用δ函数表示δ函数可以看成是δ型函数序列的弱极限t()qt101.δ函数的定义前面讲过的函数外,的象函数的函数表示出来在原来电流为零的电路中,是一个广义函数,2δ型函数序列0()ttεδ−=00ttε−t12ε0ttε+0t00t•如果对于任何()ft都满足0()ttεδ−()ftdt+∞−∞∫0limε→=0()ttδ−()ftdt+∞−∞∫0()ttεδ−dt+∞−∞∫=则称0()ttεδ−的弱极限1=00ttεε+−∫12εdt一个无穷次可微的函数0tε−0tε+为δ函数,也称为单位脉冲函数.定义7.2在区间(,)−∞+∞具有如下性质的函数0()ttδ−=0tt≠00tt=∞且0()ttδ−dt+∞−∞∫1=称为δ函数定义7.332.δ函数的性质对于任何()ft筛选性质()tδ()ftdt+∞−∞∫=()ft0|t=(0)f=0()ttδ−()ftdt+∞−∞∫=()ft0|tt=0()ft=特别一个无穷次可微的函数0t=0时证明根据定义0()ttδ−()ftdt+∞−∞∫=0()ttεδ−()ftdt+∞−∞∫0limε→0limε→=00ttεε+−∫12ε()ftdt0limε→=2ε00ttεε+−∫()ftdt罗必答法则0limε→=20()ftε+0()ftε+−0()ft=()tδdt+∞−∞∫1=()ft≡1时0()ttδ−dt+∞−∞∫1=()tδcostdt+∞−∞∫cos0=1=例如()tδ2(2)t−dt+∞−∞∫2=−()tδsintdt+∞−∞∫0=2()tδπ−sintdt+∞−∞∫1=4δ函数的筛选性质0()ttδ−()ftdt+∞−∞∫=()ft0|tt=0()ft=ℱ[]0()ttδ−的象函数0()ttδ−0()ttδ−iteω−dt+∞−∞=∫iteω−=0|tt=0tieω−=3.δ函数的傅氏变换ℱ[]0()ttδ+0()ttδ+iteω−dt+∞−∞=∫iteω−=0|tt=−0tieω=ℱ[]特别()tδ1=例如5()tδ+5ieω=0(1)tδ−10ieω−=3()tδ−3ieω−=()tδ1=ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]5ℱ[]153页9.(5)求函数的傅氏变换()ft12=[()taδ+()taδ+−()2atδ++()]2atδ+−0()ttδ+0tieω=解ℱ[]()ftℱ[]1{2=()atδ+ℱ[]+()atδ−+ℱ[]2()taδ++ℱ[]}2()taδ−1(2=iaeωiaeω−+2aieω+2)aieω−+cosaω=cos2aω+6()tδ的象函数ℱ[]()tδ1=+∞−∞∫1的傅氏逆变换()tδ1tieωdω12π=()tδ−iteω−dω+∞−∞∫12π=()tδ=()tδ是偶函数补充公式()ftdtaa−∫tx=−()ft−dtaa−=∫()fx−(d)x−aa−∫aa−=∫()fx−dx+∞−∞∫iteω−dω2π=()tδ+∞−∞∫iteω−dt2π=()δω+∞−∞=∫0()iteωω−−dt2π=0()δωω−ℱ[]0iteω的象函数0iteω+∞−∞=∫0iteωiteω−dt1的象函数1ℱ[]+∞−∞=∫iteω−dt2π=()δω70()ttδ−的象函数0()ttδ−0tieω−=0()ttδ+的象函数0()ttδ+0tieω=0iteω−的象函数0iteω−2π=0()δωω+0iteω的象函数0iteω2π=0()δωω−例如5ite−2π=()5δω+10ite2π=1(0)δω−3ite2π=()3δω−12π=()δωℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]特别()tδ1=复习8ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]ℱ[]正弦余弦的傅氏变换0iteω−2π=0()δωω+0iteω2π=0()δωω−0sintω1(2i=0iteω0)iteω−−0costω1(2=0iteω0)iteω−+0costωπ=0[()δωω−0()]δωω++0sintωiπ=−0[()δωω−0()]δωω−+cos5tπ=[()5δω−()]5δω++sin2tiπ=−[()2δω−()]2δω−+costπ=[()1δω−()]1δω++sintiπ=−[()1δω−()]1δω−+9ℱ[]ℱ[]}153页9(2)求函数的傅氏变换()ftcossintt=解()ft1sin22t=0iteω2π=0()δωω−ℱ[]14i=22()ititee−−()ftℱ[]1{4i=2ite2ite−−1[4i=2π()2δω−2π−2()]δω+2iπ=[()2δω−()]2δω−+103[]153页9(3)求函数的傅氏变换()ft3(sin)t=解()ft12i=(ite)ite−−8i=3(ite3ite−3ite−+3)ite−−ℱ[]ℱ[]()ftℱ[]{8i=3ite3ite−3ite−+ℱ[]ℱ[]}3ite−−0iteω2π=0()δωω−ℱ[]4iπ=[()3δω−13()δω−−13()δω++()]3δω−+11153页9(4)求函数的傅氏变换()ftsin(5)3tπ=+解()ft0iteω2π=0()δωω−ℱ[]12i=3)5([iteπ+3()5]iteπ−+−14i=5[(13)itie+5(13)]itie−−−ℱ[]()ftℱ[]1{(13)4ii=+5ite(13)i−−5ite−ℱ[]}[(13)2iiπ=+()5δω−(13)i−−5()]δω+12i=5[ite3ieπ⋅5ite−−3]ieπ−⋅12153页8.已知某函数()Fωπ=0[()δωω−0()]δωω++求该函数()ft解12π()ft=dω+∞−∞∫()Fωtieω1[2=0()δωω−tieω0()δωω+]tieω的傅氏变换为++∞−∞∫dω+∞−∞∫dω1(2=0iteω0)tieω−+0costω=0()ttδ−()ftdt+∞−∞∫0()ft=13142页例7.6证明的傅氏变换为()Ht=00t0t1t()Ht101iω()πδω+证12π()ft=dω+∞−∞∫()Fωtieω已知()Fω=1iω()πδω+则1iωtieω()πδωtieω12π+∞−∞=∫dω+单位阶跃函数12π+∞−∞∫dωcositωω+sintωω12π+∞−∞=∫dω12π+∞−∞∫dω12+1π=0+∞∫ωsintωdω12+=0t00t1()Ht=()tδ()ftdt+∞−∞∫(0)f=147.2.3傅氏变换的物理意义——频谱1()n∞=+∑()ft设是一个非正弦的周期函数,它的周期为T,在一个周期上满足狄氏两个条件.若()ft的傅氏级数为三角形式：02anacosntωnb+sinntω()ft=则的振幅nA它的第n次谐波22nnab=+若()ft的傅氏级数为指数形式：()ft0c=1[]n∞=+∑ncinteωnc−+inteω−则的振幅nA它的第n次谐波2||nc=2nanjb−nc=nA描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况nc()ftdt221TTT−=∫jnteω−频率和振幅的关系图称为频谱图nA也称为振幅频谱,简称为频谱15若()ft在(,)−∞+∞上有定义且绝对可积,|()|ftdt+∞−∞∫收敛,即()ft在任何一个有限区间上满足狄氏两个条件则在()ft的连续点处12π()ft=dω+∞−∞∫()Fωtieω其中()Fω=+∞−∞∫()ftdtiteω−为的傅氏变换()ft()Fω也称为的频谱函数,()ft频谱函数的模|()|Fω称为()ft的振幅频谱,简称为频谱由于ω是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数进行傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱单位脉冲函数的频谱函数()Fω()tδiteω−dt+∞−∞=∫tieω−=0|t=1=1的频谱函数()Fω1iteω−dt+∞−∞=∫2π=()δω16例1矩形脉冲函数()ft=E||ta||ta0t()fta−a0的频谱函数ℱ[]()ft+∞−∞=∫()ftiteω−dtaaE−=∫(costωdt1sintωω=aa−2sinEaωω=sin)itω−例2指数衰减函数()ft=00t0t≥teβ−t()ft100β的频谱函数()Fω+∞−∞=∫()ftdtiteω−0+∞=∫()tieβω+−dt1iβω=+1722[]TT−∫例3()ft的频谱函数非正弦的周期函数证明周期为T的()Fω2π=n+∞=−∞∑0()ncnδωω−其中nc()ftdt221TTT−=∫0inteω−为()ft的傅氏级数展开式的系数证明n∞=−∞=∑nc0inteω1T()fτdτ0ineτω−0inteωn∞=−∞∑()ft=02Tπω=()ft的傅氏级数的指数形式()ft的频谱函数()Fωn∞=−∞∑nc0inteω+∞−∞=∫dtiteω−n∞=−∞=∑nc+∞−∞∫0()tineωω−−dt根据iteω−dt+∞−∞∫2π=()δωn∞=−∞=∑nc0()nδωω−18作业152页习题77.8.9.(2),(5)