概率论§2.1-随机变量-§2.2离散型随机变量

1第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布函数§2.4随机变量函数的分布§2.2离散型随机变量及其分布§2.3连续型随机变量及其概率密度2随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果还可以用数量来表示，由此导致了随机变量的产生。上一章中，随机试验的结果是用基本事件的集合表示。局限性全面性§2.1随机变量及其分布函数3为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，我们常常引入变量来描述随机试验的不同结果，这就产生了随机变量的概念。一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结果就是一个数)；另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果。即试验结果可以数值化。4△试验结果与数值有关的例子例1随机地掷一颗骰子，观察其出现的点数，ω表示所有的样本点。X(ω):123456例2某人接连不断地对同一目标进行射击，直至射中为止，ω表示射击次数。ω:射击1次射击2次......射击n次......X(ω):12.......n......ω:1点2点3点4点5点6点5例4记录某电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。使用变量X来表示这一随机试验的结果。例3某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间。ω:候车时间X(w)=,w∈[0,10]={0,1,2，…},X(w)=ω，ω6△试验结果看起来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各种结果的例子例1抛一枚硬币,观察正面w1,反面w2出现的情况:显然，样本空间={w1,w2}若用X表示掷一次硬币时出现正面的次数,则有====21,0,1)(在投篮试验中，用{0}表示投篮未中，{1}表示罚篮命中，{2}表示三分线外远投命中，{3}表示三分线内投篮命中，则随机试验结果可数值化。引入一个定义在投篮试验样本空间上的函数X:======,3,2,1,0)(三分线内投篮命中三分线外远投命中罚篮命中投篮未中有五件产品，其中两件是次品（用a1,a2表示），三件是正品（用b1,b2,b3表示），任意从中取出两件。以X表示抽取的两件产品中包含的次品个数，则X是定义在上的一个函数。这个随机试验的样本空间为:即X=X(w),w={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1},{a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}9具体写出这个函数如下:=====),(,2),(),,(),,(),(),,(),,(,1),(),,(),,(,0)(21322212312111323121aabababababababbbbbbXX注意：在以上各个例子中函数X取什么值依赖于试验结果——样本点，而每次试验中究竟出现哪一个样本点带有随机性，所以X的取值也就同样带有随机性。10这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学上可理解为:.Xw)(wX定义一个实值函数X(ω),使ω对应于数轴上唯一的一个实数。11R定义：设E是随机试验，是其样本空间。如果对于每一个w，都有唯一的实数X(w)与之对应,则称X(w)为定义在上的一个随机变量(randomvariable)，简记为X。wX(ω)随机变量12随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z或希腊字母x,z等表示。随机变量的取值一般用小写字母x,y,z等表示。常用记法13◎定义域：普通函数是定义在实数轴上的，而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数)。◎概率性：由于随机试验各个结果的出现具有一定的概率，所以“X(ω)取每个值或某个确定范围内的值”也有一定的概率规律。随机变量X(ω)与普通函数的不同之处：◎随机性：X(ω)随试验结果的不同而取不同的值。所以在试验之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取哪个具体的值。14有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来。引入随机变量的意义例如：用X表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则X是一个随机变量。事件{收到呼叫}⇔{X≥1}{没有收到呼叫}⇔{X=0}15在例2中,事件“取出的两件产品中没有次品”用{w:X(w)=0}表示,且概率为:P(X=0)=0.3事件“取出的两件产品中至少有一件次品”且概率为:P(X≥1)=0.7用{w:X(w)≥1}表示,随机变量的特点:1.X的全部可能取值是互斥且完备的2.X的部分可能取值描述随机事件16随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大到对随机变量及其取值规律的研究。17随机变量的分布函数对随机变量的概率分布情况进行刻画设X是一个随机变量。对于任意实数x和事件{X≤x}，称函数F(x)=P(X≤x),x+为随机变量X的分布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间(-∞,x]的概率。Xx18显然，有:0≤F(x)≤1且{X≤x1}{X≤x2}P(x1X≤x2)=P(X≤x2)P(X≤x1)xx1x2o另外,有：P(x1X≤x2)=F(x2)F(x1)(x1x2)因为{x1X≤x2}={X≤x2}{X≤x1}=F(x2)F(x1)所以由事件差的概率计算公式可得证明：19分布函数的性质(1)F(x)是x的不减函数，即)()(,2121xFxFxx(3)右连续性:对任意实数x0,理解：当x→+时,{X≤x}愈来愈趋于必然事件.(2)0)(lim)(==xFFx1)(lim)(==xFFx)()(lim)0(000xFxFxFxx==20如果一个函数满足上述三条性质，则一定是某个随机变量X的分布函数。也就是说，性质(1)-(3)是判别一个函数是否是某个随机变量的分布函数的充分必要条件。分布函数是一个普通的实变量实值函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量，使得随机变量的统计特性可以得到全面的描述。21常用公式设F(x)是随机变量X的分布函数，则有);0()(=xFxXP)()()(xXPxXPxXP==);0()(=xFxF);0(1)(1)(==xFxXPxXP);(1)(1)(xFxXPxXP==22例12121)()(XXxFxF与分别为随机变量与设)()()(21xbFxaFxF=的分布函数，为了使是某一随机变量的分布函数，则下列各组值中应取（）52,53)(==baA23,21)(==baD23,21)(==baC32,32)(==baBA23例2设随机变量X的分布函数为=exexxxxF,11,ln1,0)()30(),2(xPxP求解：2ln)02()2(==FxP1)0()3()30(==FFxP24随机变量的分类(通常分两大类)：如：“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等。随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个列举如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等。全部可能取值不仅有穷多，而且不能一一列举，并充满某区间25§2.2离散型随机变量及其分布定义如果随机变量X只取有限个或可列无限多个不同可能值，则称X为离散型随机变量.例如，电话交换台一天内接到的电话个数有可列无限多个取值。此时X也为离散型随机变量。X=0,1,2,…例如,抛一枚硬币，X可取0,1有限个值。可知X为一个离散型随机变量。26再例如约会问题中，考虑甲到达的时刻X[0,T]因为X可能取的值充满整个区间[0,T]，无法按照一定的次序一一列举出来。所以X是一个非离散型随机变量。为了掌握离散型随机变量X的统计规律，必须知道X可能的取值，以及取各个可能值的概率，而我们在描述X的这种概率特性时常用到概率分布律或者分布列。27定义设离散型随机变量X所有可能取的值为x1,x2,…,xi,…,X取可能值xi的概率pi,即P(X=xi)=pi(i=1,2,…)则称该式为离散型随机变量X的分布律或分布列.Xkxxx21Pkppp21分布律也常用下述形式表示：X~或kxxx21kppp2128分布律的性质,2,1,0=kpk非负性11==kkp规范性用性质可以判断是否为分布律29注意：离散型随机变量的概率分布用以下几步来求:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率。(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）。30例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值。试求X的分布律。10)9,8,7,6,5,(51041===kCCkXPk具体写出,即可得X的分布律:解:X的取值为5,6,7,8,9,10X5678910P2521262527025235252152525252131例2设袋中有3个红球,2个绿球,连续不返回地从袋中取球,直到取到红球为止.设此时取出了X个绿球.试求:(1)X的分布律(2)X的分布函数F(x)(3))21(),2321(),21(XPXPXP解:(1)X可能的取值为0,1,2且6.053)0(===XP3.04352)1(===XP1.0334152)2(===XP32故X的分布律为:X012P0.60.30.1(2)当x0时,{X≤x}为不可能事件x012X得:F(x)=P{X≤x}=033当0≤x1时,所以可得F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.6{X≤x}={X=0}x012X当1≤x2时,而{X=0}与{X=1}是互不相容的两事件从而可得F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=0.6+0.3=0.9{X≤x}={X=0}∪{X=1}x012X34当x≥2时,{X≤x}为必然事件x012X从而可得F(x)=P{X≤x}=1综合可得=2,121,9.010,6.00,0)(xxxxxF0.910.6注:左闭右开012x35(3)=0.3+F(2)F(1)=0.3+10.9=0.4P(1≤X≤2)=P({X=1}∪{1X≤2})=P(X=1)+P(1X≤2)6.0)21()21(==FXP3.06.09.0)21()23()2321(===FFXP36离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量X的分布律为:P(X=xi)=pi(i=1,2,…)则X的分布函数为:分布函数F(x)是分段阶梯函数，在X的可能取值x=xk(k=1,2,…)处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度为pk=P{X=xk}====xxixxiiipxXPxXPxF)()()(37解：4(4)PXp==例1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。出发地甲地令X表示首次停下时已通过的信号灯盏数,求X的概率分布与p=0.4时的分布函数。3,2,1,0),1()(===kppkXPk38kpk01234代入可得4.0=p0.60.240.0960.03840.0256,84.024.06.0=21x,6.010x,00x,936.0096.084.0=32x,9744.00384.0936.0=43x14x()Fx=)(xXP39相应的分布函数图像为•0•1•2•3•4xF(x)•o•1•o•o•o0.60.84o40例2在上例中,分别用分布律与分布函数计算.)31(XP解：)31(XP)3()2()1(====XPXPXP3744.0)4.04.04.0(6.032==或)31(XP6.09744.0=)01()3(=FF1lim()xFx此式为极限41常见的离散型随机变量的分布1.两点分布（0–1分布）1,0,)1()(1===kppkXPkk若随机变量X