2019精品高等数学1复习课件数学

高等数学第一章函数与极限主要内容（一）函数极限的概念（二）函数极限的运算（三）函数连续的概念左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf含用极限运算类型1.常规型:00lim()()xxfxfx2.特殊型:分段点处极限:)(lim0xfx)(lim0xfx∞型:倒数求无穷小A0型:有界变量与无穷小量之积和式极限:先求和式再求极限)00(.3分解因式消零因子)(0xx).(4用最高次或“最大”项除分子分母含(反)三角函数用.1xsinxlim0x0)5.(1)()(xgxfexxx)11(limexxx10)1(lim洛必达法则洛必达法则01lim()()nbiiaifxfxdx定积分的定义洛必达法则函数连续概念点连续处连续在函数0x)x(fy)x(f)x(flim0xx0特殊：左连续右连续)x(f)x(flim0xx0)x(f)x(flim0xx0区间连续在区间上每一点都连续的函数初等函数连续性基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间上连续函数性质最大值和最小值定理有界性定理零点定理介值定理Mmab21xyo)(xfyab321xyo)(xfyMBCAmab1232x1xxyo)(xfy例142lim()tgxxtgx含的型:)x(g)x(f)01(exxxxxx)(lim)(lim11110解拼、配、凑42lim()tgxxtgx42lim1(1)tgxxtgx4lim1(1)xtgx11tgx(1)2tgxtgx2412(1)11lim1(1)tgxtgxtgxtgxxtgx1e典型例题洛必达法则解2442ln()lim()limtgxtgxtgxxxtgxe42ln()limtgxtgxxe4lim(2ln())xtgxtgxe4ln()lim2xtgxctgxe4ln()lim21xtgxctgxee例23101tlim().1sinxxgxx求10110(10)exxxxxx)(lim)(lim11110解法讨论解:3101tlim[1(1)]1sinxxgxx原式310tsinlim[1]1sinxxgxxx31sinsin1sin1sin0tsinlim11sinxtgxxtgxxxxxgxxx31sinsin1sin1sin0tsinlim11sinxtgxxtgxxxxxgxxx30tsin1lim1sinxgxxxx301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxxxxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim202112.e含的型:)x(g)x(f)01(例33101tlim().1sinxxgxx求解:解法讨论则设,)(lim,0)(limxgxf)](1ln[)(lim)()](1lim[xfxgxgexf)]()[(limxfxge.)()(limxfxge))(~)](1ln[(xfxf3101tlim[1(1)]1sinxxgxx原式310tsinlim[1]1sinxxgxxx30tsin1lim1sinxgxxxx301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxxxxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim2021301tsinlim1sinxgxxxxe常用等价无穷小10110(10)12e0(10)e301tsinlimln[1]1sinxgxxxxe,1时当x)(lim1xfx)1(lim1xx.2)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(间断在故xxf,1时当x)(lim1xfx2coslim1xx.0)(lim1xfx)1(lim1xx.0)(lim)(lim11xfxfxx.1)(连续在故xxf.),1()1,()(连续在xf例4.1,2cos1,1)(的连续性讨论xxxxxf解改写成将)(xf1,111,2cos1,1)(xxxxxxxf.),1(),1,1(),1,()(内连续在显然xf例5).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设讨论:()F1()()02ff1()()(),2Fxfxfx.]21,0[)(上连续在则xF零点定理ab321xyo)(xfy例6).()21(]1,0[),1()0(,]1,0[)(ffffxf使得证明必有一点且上连续在闭区间设证明),()21()(xfxfxF令.]21,0[)(上连续在则xF),0()21()0(ffF),21()1()21(ffF讨论:,0)0(F若,0则);0()210(ff,0)21(F若,21则);21()2121(ff则若,0)21(,0)0(FF)21()0(FF2)]0()21([ff.0由零点定理知,.0)(),21,0(F使.)()21(成立即ff综上,],1,0[]21,0[必有一点.)()21(成立使ff主要内容（一）导数与微分的概念（二）导数与微分的运算第二章导数与微分导数的概念导数的定义dxxdfdxdyxfy)(),(,或xy0limxxxfxxfx)()(lim0几何意义oxy)(xfyT0xM)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf可导与连续的关系函数可导一定连续，但连续不一定可导.xy2xy0xy31xyxy1高阶导数的定义记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.0()()(())limxfxxfxfxx导数的运算求导法则和、差、积、商的求导法则).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu反函数的导数)(1)(xxf复合函数的求导法则)()(000xufdxdyxx初等函数的求导分解成基本初等函数(复合),或常数与基本初等函数的和、差、积、商.基本初等函数或常数的导数特殊求导方法隐函数求导隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.对数求导法.)()(的情形数多个函数相乘和幂指函xvxu方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.参数方程所确定的函数的导数间的函数与确定参数方程xytytx)()(dtdxdtdydxdy方法:微分00()()()yfxxfxAxox可微在点函数0x)x(fy(),000dydfxdyAxxxxx记作或即可微的条件).0(xfA.可微可导微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.dxxfdy)(微分的几何意义微分形式的不变性微分形式总是的函数是自变量还是中间变量无论)(,xfyxdxxfdy)(近似计算的基本公式函数增量的近似值,很小时当x00xxdyxxy.)(0xxf函数的近似值xxfxfxxf)()()(000)(很小时x;0)(.1附近的近似值在点求xxxf;0)(.2附近的近似值在点求xxfxffxf)0()0()(例12221111arctan1ln,.2411xyxyx设求解,12xu设,11ln41arctan21uuuy则)1111(41)1(212uuuyu411u,2142xx)1(2xux,12xx.1)2(123xxxyx典型例题22()(0,0),.yxdyyfxyxxydx设函数由方程所确定求例2解两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy322)1(ln)1(ln)1(lnyxyxxyy.,)(sincosyxxyx求设例3解)sinlncos(lnxxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxxcoslnln(sin)xyxx)(lnyyy解coslnsinxxyxecoslnsinxxxe2coslnsincoslnsincossinlnsinsinxxxxxexexxxcoslnsincoslnsinxxxxexecoslnsincoslnsincoslnsinxxxxexexx主要内容重要理论---微分中值定理导数在求极限中的应用---洛比达法则应用导数研究讨论函数性质及作图形第三章微分中值定理与导数的应用ab12xyo)(xfyCab12xoy)(xfyABCD)(1F)(2Fxoy)()(tfYtFX)(aFA)(bFBCDRolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理重要理论---微分中值定理型型及00),1,0,,0(00型洛必达法则)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax方法导数在求极限中的应用---洛比达法则xyoab最大值最小值极大值极小值拐点凹的凸的单增单减)(xfy应用导数研究讨论函数性质及作图形函数的性质单调性单调性的判别法xyo)(xfyabAB0)(xf单调增加xyo)(xfy0)(xfabBA单调减少单调区间的求法函数极值函数极值的定义函数极值的求法oxy0xoxy0xxyoxyo0x0xxyoxyo0x0x函数最值最值存在判别法oxyoxybaoxyabab函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法xyo)(xfy1x2xxyo1x2x)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xf0yxyo)(xfyabBA递减)(xf0y0)(0xfxyoABC0x0y0x,()0)(xf0)(xf典型例题重要理论微分中值定理导数在求极限中的应用--洛比达法则应用导数研究讨论函数性质及作图形恒等式.不等式的证明方程解的判定或证明型型及00),1,0,,0(00型求极限讨论函数性质及作图形不等式的证明技巧—造辅助函数1212()().()22fxfxxxf例1证明多项式在上