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概率论第六节独立性两个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用小结概率论显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点},B={第一次掷出6点},先看一个例子:将一颗均匀骰子连掷两次,设概率论由乘法公式知,当事件A、B独立时,有P(AB)=P(A)P(B)用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.PABPABPB概率论若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B相互独立,简称A、B独立.两事件独立的定义1定理独立的充要条件为、事件BA0,|0,|APBPABPBPAPBAP或概率论证.先证必要性,由独立定义知独立、设事件BABPAPABP|,0,BPABPBAPBP时当所以BPBPAPAP|,0,APABPABPAP时当或者APBPAPBP:再证充分性,|则有成立设APBAPBPBAPABP|BPAP.,相互独立、事件由定义可知BA概率论例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B独立.问事件A、B是否独立?解1:P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,可见P(A)=P(A|B),由定理1知事件A、B独立.P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13解2:两事件是否独立可由定义或通过计算条件概率来判断:概率论在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率,故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中},B={乙命中},A与B是否独立?例如(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)概率论一批产品共n件,从中抽取2件,设Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如:因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的,则A1与A2不独立.概率论即若A、B互斥,且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立.反之,若A与B独立,且P(A)0,P(B)0,则A、B不互斥.概率论=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)BP(A)=P(A-AB)A、B独立概率的性质=P(A)-P(A)P(B)仅证A与独立B定理2若两事件A、B独立,则BABABA与与与,,也相互独立.证明B=P(A)P()故A与独立B概率论定义,如果满足等式为三事件、、设CBACPBPBCPCPAPACPBPAPABP.为两两独立的事件、、则称三事件CBA,等式两两独立时 、、当事件CBACPBPAPABCP.不一定成立二、多个事件的独立性概率论例如,,,,4321S,,,,3121BA,,41则C,21CPBPAP,BPAP41ACP,并且41ABP,PAPC41BCP.CPBP.两两独立、、即事件CBA但是 41ABCP. CPBPAP概率论对于三个事件A、B、C,若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.:有限多个事件的情形此定义可以推广到任意概率论定义,,,,21如果对于任意个事件为设nAAAn1,121有等式和任意的的niiinkkkkkiiiiiiAPAPAPAAAP2121.,,,21为相互独立的事件则称nAAA请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n2)个事件?概率论对独立事件,许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用,0.90.81和苗率分别为有甲、乙两批种子,出例,求取一粒现从这两批种子中各任;1两粒种子都出苗的概率;2出苗的概率恰好有一粒种子.3概率至少有一粒种子出苗的解子出苗由甲批中取出的一粒种设A子出苗由乙批中取出的一粒种B概率论,两粒种子都出苗且事件相互独立、则事件BA:表示为,AB:表示为恰好有一粒出苗,BABA:表示为至少有一粒种子出苗.BAABP1BPAP;0.720.90.8BABAP2BAPBAPBPAPBPAP.0.260.10.80.90.2BAP3ABPBPAPBPAPBPAP0.90.80.90.8.0.98BAP或者BAP1BAP1BPAP1.0.98概率论例2设有电路如图,其中1,2,3,4为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立,且每一个继电器接点闭合的概率均为p。求L至R为通路的概率。LR2134解:设事件Ai(i=1,2,3,4)为“第i个继电器接点闭合”,L至R为通路这一事件可表示为:AAAAA1234.概率论由和事件的概率公式及A1,A2,A3,A4的相互独立性,得到)()()()()(432143214321AAAAPAAPAAPAAAAPAP)()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAPppppp224242.概率论?.4100.0.01;0.95.,3,)3(3:.1003概率是多少试问这批乐器被接收的音色不纯的件是件乐器中恰有如果已知这的概率为测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经为出其为音色不纯的概率试查件音色不纯的乐器经测设一收则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯中件中至少有一件在测试如果是相互独立的件乐器的测试设件测试该批乐器中随机地取自验收方案如下乐器件要验收一批例概率论解,,3件音色不纯恰有件随机地取出设iHi.3210,,,i.这批乐器被接收A则AP11HPH|APHPH|AP003322HPH|APHPH|AP其中0HP,3100396CC1HP,142310096CCC2HP,241310096CCC3HP,343100CC概率论0H|AP,0.9931H|AP,0.050.9922H|AP,0.050.9923H|AP.0.053:概率为所以这批乐器被接收的AP11HPH|APHPH|AP003322HPH|APHPH|AP30.993100396CC0.050.992142310096CCC22410.050.99310096CCC0.053343100CC.0.8629概率论1,,2pp例:甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利?设各局胜负相互独立。,1,2,,5iiAiPApi解:设第局甲胜A再设甲胜22121231231121PAPAAAAAAAApppp三局二胜制:22213121PPPPP12345231323342211PAPAAAAApCppCppp五局三胜制:前三次有一次输前四次有两次输21211,21,2pppppp当当例4概率论,2都每一门击中飞机的概率设有两门高射炮例:,0.6求下列事件的概率是?1中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击99%,2以上的概率欲以若有一架敌机入侵领空?,炮问至少需要多少门高射击中它解,而击中飞机门高射炮发射一发炮弹第设kAk,6.0,,2,1于是且之间相互独立则kkAPAk211AAP211AAP211AAP211APAP24.01.0.84例5概率论,2由题知门高射炮设至少需要n21nAAAP121nAAAP121nAAAPnAPAPAP211n4.010.99,01.00.4n,解之得.026.54.0ln01.0lnn即概率论四、小结这一讲,我们介绍了事件独立性的概念.不难发现,当事件相互独立时,乘法公式变得十分简单,因而也就特别重要和有用.如果事件是独立的,则许多概率的计算就可大为简化.概率论《概率统计》标准化作业(一)五、布置作业
本文标题:华东交通大学概率论及数理统计课件概率1-6
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