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第7讲牛吃草问题牛吃草问题在普通工程问题的基础上,工作总量随工作时间均匀的变化,这样就增加了难度.解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,因为是匀速生长,所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草,问题就容易解决了。草场有一片均匀生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出,所以又叫“牛顿问题”.)【分析与解】27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间,吃了原有的草加上6周新长的草;23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间,吃了原有的草加上9周新长的草;于是,多出了207-162=45头牛,多吃了9-6=3周新长的草.所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草.即相当于给出15头牛专门吃新长出的草.于是27-15=12头牛6周吃完原有的草,现在有21头牛,减去15头吃长出的草,于是21-15=6头牛来吃原来的草;所以需要12×6÷6=12(周),于是2l头牛需吃12周.注:我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃,这样就把问题化归为一般工程问题了.一般方法:先求出变化的草相当于多少头牛来吃:(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙);再进行如下运算:(甲牛头数-变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙.或者:(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数.有三块草地,面积分别是4公顷、8公顷和10公顷.草地上的草一样厚而且长得一样快.第一块草地可供24头牛吃6周,第二块草地可供36头牛吃12周.问:第三块草地可供50头牛吃几周?【分析与解】我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).36×12=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草).于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草.432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草.所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草.即36÷6=6头牛1周吃2公顷1周长的草对每2公顷配6头牛专吃新长的草,则正好.于是4公顷,配4÷2×6=12头牛专吃新长的草,即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷,所以1头牛吃6×12÷(4÷2)=36周吃完2公顷.所以10公顷,需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草,剩下50-30=20头牛来吃10公顷草,要36×(10÷2)÷20=9周.于是50头牛需要9周吃10公顷的草.如图,一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分,已知草在各处都是同样速度均匀生长.牧民带着一群牛先在①号草地上吃草,两天之后把①号草地的草吃光.(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草,一半牛在③号草地吃草,6天后又将两个草地的草吃光.然后牧民把13的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外号的牛放在④号草地吃草,结果发现它们同时把草场上的草吃完.那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草,吃完这些草需要多少时间?【分析与解】一群牛,2天,吃了1块+1块2天新长的;一群牛,6天,吃了2块+2块2+6=8天新长的;即3天,吃了1块+1块8天新长的.即16群牛,1天,吃了1块1天新长的.又因为,13的牛放在阴影部分的草地中吃草,另外23的牛放在④号草地吃草,它们同时吃完.所以,③=2阴影部分面积.于是,整个为19422块地.那么需要193624群牛吃新长的草,于是191262()=现在314().所以需要吃:19312130624()()=天.所以,一开始将一群牛放到整个草地,则需吃30天.现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间?【分析与解】牛、马45天吃了原有+45天新长的草①马、羊60天吃了原有+60天新长的草②牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③马90天吃了原有+90天新长的草④牛、马90天吃了2原有+90天新长的草⑤所以,由④、⑤知,牛吃了90天,吃了原有的草;再结合③知,羊吃了90天,吃了90天新长的草,所以,可以将羊视为专门吃新长的草.所以,②知马60天吃完原有的草,③知牛90天吃完原有的草.现在将牛、马、羊放在一起吃;还是让羊吃新长的草,牛、马一起吃原有的草.所需时间为l÷11()9060=36天.所以,牛、羊、马一起吃,需36天.由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算,可供多少头牛吃10天?【分析与解】设1头牛1天吃的草为1份,20头牛5天吃100份,15头牛6天吃90份,100-90=10(份)说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份,也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”,再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草,所以原有草共有(20+10)×5=150(份),由150÷10=15知道,牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草,所以可供5头牛吃10天。自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶,女孩每分钟走15级台阶,结果男孩用5分钟到达楼上,女孩用了6分钟到达楼上。问:该扶梯共有多少级台阶?【分析与解】与前面的题比较,“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”,“草”变成了“台阶”,“牛”变成了“速度”,也可以看成是牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分:一部分是男、女孩自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5=100(级),女孩6分钟走了15×6=90(级),女孩比男孩少走了100—90=10(级),多用了6—5=1(分钟),说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达楼上,他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以,扶梯共有(20+10)×5=150(级)一只船有一个漏洞,水以均匀的速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水,3小时舀完。如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完,需要多少人?【分析与解】已漏进的水,加上3小时漏进的水,每小时需要(12×3)人舀完,也就是36人用1小时才能舀完。已漏进的水,加上10小时漏进的水,每小时需要(5×10)人舀完,也就是50人用1小时才能舀完。通过比较,我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。1小时漏进的水,2个人用1小时能舀完:(5×10—12×3)÷(10—3)=2已漏进的水:(12—2)×3=30已漏进的水加上2小时漏进的水,需34人1小时完成:30+2×2=34用2小时来舀完这些水需要17人:34÷2=17(人)有三块草地,面积分别为5,6,和8公顷。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天?【分析与解】现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来。即[5,6,8]=120这样,第一块5公顷可供11头牛吃10天,120÷5=24,变为120公顷草地可供11×24=264(头)牛吃10天第二块6公顷可供12头牛吃14天,120÷6=20,变为120公顷草地可供12×20=240(头)牛吃14天。120÷8=15。问题变成:120公顷草地可供19×15=285(头)牛吃几天?因为草地面积相同,可忽略具体公顷数,原题可变为:一块草地匀速生长,可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天,那么可供285头牛吃几天?即每天新长出的草:(240×14—264×10)÷(14—10)=180(份)草地原有草:(264—180)×10=840(份)可供285头牛吃的时间:840÷(285—180)=8(天)作业由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长大,反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。照此计算,可供11头牛吃几天不定方程与整数分拆求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题.对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4的数有多少个?【分析与解】设这个两位数为ab,则数字和为ab,这个数可以表达为10ab,有104abab即1044abab,亦即2ba.注意到a和b都是0到9的整数,且a不能为0,因此a只能为1、2、3或4,相应地b的取值为2、4、6、8.综上分析,满足题目条件的两位数共有4个,它们是12、24、36和48.有纸币60张,其中1分、l角、1元和10元各有若干张.问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张,列方程如下:601101001000100002abcdabcd由(2)(1)得9999999940bcd③注意到③式左边是9的倍数,而右边不是9的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽略不计.问:剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数,所以截成若干根这两种型号的短管,截去的总长度必是12的倍数,但374被12除余2,所以截完以后必有剩余.剩余管料长不小于2厘米.另一方面,374=27×12+4×12+2,而36÷12=3,24÷12=2即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管,剩余2厘米.因此剩余部分的管子最少是2厘米.小萌在邮局寄了3种信,平信每封8分,航空信每封1角,挂号信每封2角,她共用了1元2角2分.那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?【分析与解】显然,为了使3种信的总和最少,那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信,然后是航空信,最后才是平信.但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分.所以,10n+2分应该为平信的邮费,n最小取3,才是8的倍数,所以平信至少要寄4封,此时剩下的邮费为122-32=90,所以再寄4封挂号信,航空信1封即可.于是,小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封.有三堆砝码,第一堆中每个砝码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克.现在要取出最少个数的砝码,使它们的总重量为130克.那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解】为了使选取的砝码最少,应尽可能的取7克的砝码.130÷7:18……4,所以3克、5克的砝码应组合为4克,或4+7k克重.设3克的砝码x个,5克的砝码y个,则3547xyk.当k=1时,有3511xy,有x=2,y=1,此时7克的砝码取17个,所以共需2+1+17=21个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个.当k1时,7克的砝码取得较少,而3、5克的砝码却取得较多,不是最少的取砝码情形.当k=0时,有354xy,无自然数解;5种商品的价格如表8—1,其中的单位是元.现用60元钱恰好买了10件商品,那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件,则有2.9104.77.210.614.9bcdebcde=60.184377120310bcde显然e只能取0,1,2.Ⅰ有184377bcd=310,其中d可取0,1,2,3,4.(1)当d=0时,有1843bc=310,将系数,常数对6取模得:c≡4(mod6),于是c最小取4,那么有18b=310-43×4=138,b不为自然数.所以d=
本文标题:小学四年级奥数之牛吃草问题
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