二元一次方程组---题型归纳

实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想　　列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系　　1.行程问题：　(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；　；；　　(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。　　(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；　　　　　　　②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；　　　　　　　③顺水速度－逆水速度＝2×水速。　　注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。　　2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.　　3．商品销售利润问题：　　(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；　　注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）　　4．储蓄问题：　　(1)基本概念　　　①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。　　　③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。　　　⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。　　(2)基本关系式　　　①利息＝本金×利率×期数　　　②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)　　　③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。　　　④税后利息＝利息×(1－利息税率)⑤年利率＝月利率×12⑥。　　注意：免税利息=利息　　5．配套问题：　　解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。　　6．增长率问题：　　解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；　　　　　　　　　　　　　　　　　原量×(1－减少率)＝减少后的量.　　7．和差倍分问题：　　解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.　　8．数字问题：　　解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字　　9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.　　10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式　　11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的　　12．优化方案问题：　　在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。　　注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤　　利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：　　1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；　　3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.　　要点诠释：　　(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；　　(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；　　(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.　(4)列方程组解应用题应注意的问题　①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。类型一：列二元一次方程组解决——行程问题　　1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？　　思路点拨：画直线型示意图理解题意：　　　　　(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.　　(2)有两个等量关系：　　　①相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;　　　②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.　　解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.　　　　根据题意，列方程组　　　　解这个方程组，得:　　　　.　　答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.　　总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。　　【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？　　【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。　类型二：列二元一次方程组解决——工程问题　　2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？　　思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.　　解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：　　　　　　　　　　解得　　　　　答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元。　　　(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，　　　　　故请乙组单独做费用最少。　　　　　答：请乙组单独做费用最少。　　总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。　　【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题　　3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？　　思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率　　解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：　　　　，解得：　　答：两件商品的进价分别为600元和400元。　【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？　　【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：　AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利=售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；　类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题　　4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）　　思路点拨：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：　　　　　　　　　　　解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：　　　　，解得：　　答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.　　总结升华:我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.　【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？　　类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题　　5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？　　思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).　　解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：　　　　　答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.　　总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.　【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？　【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。　【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立