2.2.3-平面与平面平行的性质

2．2.3平面与平面平行的性质面面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面________，那么它们的交线__________符号语言图形语言作用线面平行⇒__________平面与平面平行的性质相交平行线线平行γ∩α＝aγ∩β＝b练习：下列命题中，真命题的个数有()C①如果两个平面平行，那么分别在两个平面内存在直线a，b，使a∥b；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；③如果两个平面平行，那么第一个平面内的直线与第二个平面内的直线平行．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①②真，③假．【问题探究】1．如果两个平面平行，则一个平面内的任何一条直线与另外一个平面平行吗？答案：平行．2．经过平面外一点，可以作几个平面和已知平面平行？答案：一个．题型1面面平行的判定定理的应用【例1】如图2-2-11，已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD.若E，F分别是PA，AD的中点，求证：平面BEF∥平面PCD.图2-2-11证明：连接BF，EF.如图D24.图D24因为AD＝2，BC＝1，AD∥BC，所以BC∥FD，且BC＝FD.所以四边形BCDF是平行四边形，所以BF∥CD.因为BF平面PCD，所以BF∥平面PCD.因为E，F分别是PA，AD的中点，所以EF∥PD.因为EF平面PCD，所以EF∥平面PCD.因为EF∩BF＝F，所以平面BEF∥平面PCD.要证明面面平行，先证一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.【变式与拓展】1．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，下面给出三个命题：其中正确的命题的序号是________．①③①a∥cb∥c⇒a∥b；②a∥γb∥γ⇒a∥b；③α∥γβ∥γ⇒α∥β.题型2面面平行的判定定理与性质定理的综合应用图2-2-12【例2】如图2­2­12，平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD的中点，求证：EF∥平面β.题型2面面平行的判定定理与性质定理的综合应用图2-2-12【变一】如图2­2­12，平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB＝CFFD，求证：EF∥平面β.思维突破：解答本题应先对AB，CD是否共面进行讨论，当AB，CD不共面时需构造线段进行转化．证明：当直线AB和CD在同一平面内时，由α∥β可知：AC∥BD，ABDC是梯形或平行四边形．又BD⊂β，所以EF∥平面β.由AEEB＝CFFD，得EF∥BD.当直线AB和CD异面时，作AH∥CD交β于点H，则四边形AHDC是平行四边形，作FG∥DH交AH于点G，连接EG，所以EG∥BH.又BH⊂β，所以EG∥β.又FG∥DH，DH⊂β，所以FG∥β.所以平面EFG∥β，而EF⊂平面EFG，所以EF∥平面β.于是CFFD＝AGGH.因为AEEB＝CFFD，所以AEEB＝AGGH.将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或直线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等．此题通过巧作辅助线，得到所作平面与底面平行，由性质α∥β，l⊂α⇒l∥β易得线面平行，进而转化为面面平行，突出了平行问题中的转化思想．【变式与拓展】2．如图2-2-13，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G是侧面对角线上的中点.求证：平面EFG∥平面ABC.图2-2-13【变式与拓展】3．如图2-2-13，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG.求证：平面EFG∥平面ABC.图2-2-13证明：如图D25，作EP⊥BB1于点P，连接PF.在正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1中，易知A1B1⊥BB1，图D25又EP⊥BB1，∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面ABC，且BEA1B＝BPBB1.题型3线面、面面平行的综合应用【例3】已知：有公共边AB的两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上中点，求证：PQ∥平面CBE.题型3线面、面面平行的综合应用【变式】已知：有公共边AB的两个正方形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面CBE.证法一：如图2­2­14(1)，连接AQ并延长交BC于点G，连接EG，则AQQG＝DQQB.∵AP＝DQ,PE＝BQ，∴AQQG＝APPE.∴PQ∥EG.又PQ平面BCE，EG⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.图2-2-14证法二：如图2-2-14(2)，分别过点P，Q作PK∥AB，QH∥AB，则PK∥QH.∵CD＝AB，AE＝BD，PE＝BQ，∴PK＝QH.∴PQHK是平行四边形．∴PQ∥KH.又PQ平面BCE，KH⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.连接KH，则PKAB＝PEAE，QHCD＝BQBD.证法三：如图2-2-14(3)，过点P作PO∥EB，连接OQ，则OQ∥AD∥BC，平面POQ∥平面BEC.又PQ平面BCE，故PQ∥平面BEC.证明线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行，证法一是作三角形得到的；证法二是通过作平行四边形得到在平面内的一条直线KH；证法三利用了面面平行的性质定理．EPPA＝BOOAEPPA＝BQQD⇒BOOA＝BQQD，【变式与拓展】3．如图2-2-15，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点，求证：AF∥平面BDE.图2-2-15证法一：如图D26，连接EF，AC，AC∩BD＝G，显然四边形EFAG为平行四边形，图D26又AF平面BDE，EG⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE.证法二：取A1B1中点G，连接AG，FG，证明平面AFG∥平面BDE即可．【例4】下列命题正确的是()A．夹在两平行平面间的相等线段必平行B．夹在两平行平面间的平行线段相等C．第三平面与两平面分别相交，若两条交线平行，则这两平面平行D．平行于同一直线的两平面平行易错分析：应注意面面平行性质定理的应用条件．答案：B[方法·规律·小结]1．面面平行的判定定理既是面面平行的性质定理，也是线面平行的判定定理，因此证明线面平行，也可借助于面面平行．2．利用两个平行平面的性质解题时，要注意常把面面平行的问题转化成线面平行或线线平行的问题．(1)两个平面平行，可得其中一平面内的任一直线平行于另一个平面．此性质定理可简记为：面面平行，则线面平行．(2)两个平面平行，可得两个平面与第三个平面相交，它们的交线平行，而不是两个平面内的任意两条直线平行，此性质定理可简记为：面面平行，则线线平行．