模块二第9讲概率与统计讲重点小题专练

(第一次作业)一、选择题1．(2019·广州调研考试)若点P(1，1)为圆C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0答案D解析由圆的方程易知圆心C的坐标为(3，0)，又P(1，1)，所以kPC＝0－13－1＝－12.易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.根据弦MN所在的直线经过点P(1，1)，得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选D.2．过坐标原点O作圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，直线AB被圆截得的弦的长度为()A.265B.465C.6D.365答案B解析设圆的圆心为P，则P(3，4)，由切线长定理可知|OA|＝|OB|，且OA⊥PA，OB⊥PB，因为|OP|＝32＋42＝5，圆的半径r＝1，所以|OA|＝|OB|＝26，易知AB⊥OP，所以S四边形OAPB＝12|OP|·|AB|＝2S△OAP，所以|AB|＝4S△OAP|OP|＝4×12×26×15＝465.3．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．52B．102C．152D．202答案B解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心为(1，3)，半径r＝10，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝102.4．(2019·福建五校第二联考)已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线x2m＋y22＝1的离心率是()A．2B.63C.24D．2或63答案D解析因为m是3与12的等比中项，所以m2＝3×12＝36，解得m＝±6.若m＝－6，则曲线的方程为y22－x26＝1，该曲线是双曲线，其离心率e＝2＋62＝2；若m＝6，则曲线的方程为x26＋y22＝1，该曲线是椭圆，其离心率e＝6－26＝63.综上，所求离心率是2或63.故选D.5．(2019·河北衡水中学期中)已知点P(－1，4)，过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点，则抛物线C的标准方程为()A．x2＝14yB．x2＝4y或y2＝－16xC．y2＝－16xD．x2＝14y或y2＝－16x答案D解析因为过点P(－1，4)恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点，所以点P一定在抛物线C上，则两条直线中一条是切线，另一条是与抛物线的对称轴平行的直线．若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px.将P(－1，4)的坐标代入方程，得2p＝－16，则抛物线C的标准方程为y2＝－16x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝2py.将P(－1，4)的坐标代入方程，得2p＝14，则抛物线C的标准方程为x2＝14y.故选D.6．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1→·AF2→＝0，AF2→＝2F2B→，则椭圆E的离心率为()A.23B.34C.53D.74答案C解析设|BF2|＝m，则|AF2|＝2m.连接BF1，由椭圆的定义可知|AF1|＝2a－2m，|BF1|＝2a－m.由AF1→·AF2→＝0知AF1⊥AF2，故在Rt△ABF1中，(2a－2m)2＋(3m)2＝(2a－m)2，整理可得m＝a3.故在Rt△AF1F2中，|AF1|＝4a3，|AF2|＝2a3，故(2a3)2＋(4a3)2＝4c2，解得e＝53.7．(2019·洛阳市第二次统考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，3)在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为()A．x2－y2＝1B.x22－y23＝1C．x2－y23＝1D.x216－y24＝1答案A解析方法一：将P(2，3)代入各选项，排除C、D；对于A，F1(－2，0)，F2(2，0)，|PF1|＝9＋28＝22＋1，|PF2|＝9－28＝22－1，|F1F2|＝22，|PF1|＋|PF2|＝42＝2|F1F2|.符合题意．故选A.方法二：∵|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4c，∴P点在以F1，F2为焦点的椭圆上，a1＝2c，其方程为x24c2＋y23c2＝1，∴44c2＋33c2＝1，4a2－3b2＝1，a2＋b2＝c2，⇒a＝1，b＝1.故选A.8．(2019·广东六校第三次联考)设F为抛物线y2＝2px的焦点，斜率为k(k0)的直线过F交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB的斜率为()A.12B．1C.2D.3答案D解析记直线AB与抛物线准线的交点为P，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，准线与x轴的交点为E，F(p2，0)．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，∴|BB1||AA1|＝13＝|PB||PA|＝|PB||PB|＋4m，得|PB|＝2m，则|BB1||FE|＝|PB||PF|，即mp＝23，∴m＝23p，∴|AA1|＝3m＝2p，则A(3p2，3p)，则直线AB的斜率kAB＝kAF＝3p3p2－p2＝3.9.(2019·最后一卷)如图，过抛物线y2＝16x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若F为AC的中点，则|AB|＝()A.343B.383C.643D.323答案C解析方法一：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，直线l的方程为y＝k(x－4)(k0)，则y3＝－8k.由F为AC的中点得x1＝12，y1＝8k，即A(12，8k)，代入y2＝16x，可得k＝3.联立得y＝3（x－4），y2＝16x，得3x2－40x＋48＝0，所以x1＋x2＝403.结合抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋8＝403＋8＝643.方法二：分别过A，B作准线的垂线，交准线于P，Q两点，设准线与x轴交于R，|BF|＝n，则由抛物线的定义可得|BQ|＝|BF|＝n，|AP|＝|AF|，因为F为AC的中点，所以|AP|＝2|FR|＝16，|AC|＝2|AP|，则|BC|＝2|BQ|＝2n，所以|FC|＝3n，|AF|＝16，所以3n＝16，即n＝163，所以|AB|＝4n＝643.讲评(1)在方法一中，k＝3，倾斜角为60°，∴|AB|＝16（32）2＝643.(2)若F为AC中点，则倾斜角为60°或120°.10．(2019·南昌NCS项目第二次模拟)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为2c，圆C1：(x－c)2＋y2＝r2(r0)与圆C2：x2＋(y－m)2＝4r2(m∈R)外切，且E的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E的离心率为()A.2B.5C.62D.32答案C解析由题意知，圆C2的圆心可能在x轴上方，也可能在x轴下方，又由其对称性知，最后结果一样，我们只以圆C2的圆心在x轴上方为例进行研究，如图，设圆C1与圆C2的切点为A，∵双曲线E的两条渐近线恰好为圆C1和圆C2的公切线，∴渐近线y＝bax与C1C2垂直且垂足为A，由射影定理得|OA|2＝|C1A|·|C2A|，∵|C1A|＝r，|C2A|＝2r，∴|OA|2＝2r2，∴|OA|＝2r，∴ba＝|C1A||OA|＝r2r＝22，∴双曲线E的离心率e＝ca＝1＋b2a2＝62.故选C.11．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±13x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋6)2＝1上一点，现有下列命题：①双曲线的虚轴长为1②双曲线C方程为x29－y2＝1③|MN|＋|MF2|的最小值为9④|MN|的最小值为6105－1其中正确的是()A．②③④B．①②③C．②③D．②④答案A解析由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±13x，即有ba＝13，即b＝1，可得双曲线方程为x29－y2＝1，焦点为F1(－10，0)，F2(10，0)，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|，由圆E：x2＋(y＋6)2＝1，可得E(0，－6)，半径r＝1，|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝6＋10＝4，则|MN|＋|MF2|的最小值为6＋4－1＝9.由上可知①不对，②对，③对．对于④设M(x，y)，则|ME|＝x2＋（y＋6）2＝9（1＋y2）＋（y＋6）2＝10（y＋610）2＋14410≥6510，当且仅当y＝－610时取等号，所以|MN|≥6510－1，故④对．选A.12．(2019·贵阳监测)已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点F是椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.33D.32答案C解析如图，由|AB|＝2b2a，△FAB是正三角形，得32×2b2a＝2c，化简可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0，所以2a2－3b2＝0，所以b2a2＝23，所以椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2＝33.故选C.13．(2019·天津质量调查)设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足OE→＝12(OP→＋OF1→)，|OE|＝3，则双曲线的方程为()A.x26－y212＝1B.x26－y29＝1C.x23－y26＝1D.x23－y212＝1答案D解析∵E为圆x2＋y2＝a2上的点，∴|OE|＝a＝3.∵OE→＝12(OP→＋OF1→)，∴E是PF1的中点．又∵O是F1F2的中点，∴|PF2|＝2|OE|＝2a＝23，且PF2∥OE.又∵|PF1|－|PF2|＝2a＝23，∴|PF1|＝43.∵PF1是圆O的切线，∴OE⊥PF1，∴PF2⊥PF1.∵|F1F2|＝2c，∴4c2＝|PF1|2＋|PF2|2＝60，∴c2＝15，∴b2＝c2－a2＝12.∴双曲线的方程为x23－y212＝1.故选D.14．(2019·湖北部分重点中学第二次联考)已知A，B，C是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上不同的三个点，其中直线AB经过原点O，直线AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的两条渐近线的斜率之积为()A．－98B．－89C．－179D．－94答案B解析本题考查双曲线的几何性质．设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则B(－x1，－y1)，由BF⊥AC，得y1c＋x1·y1x1－c＝－1，则y12＝c2－x12，①又由点A在双曲线上，得x12a2－y12b2＝1，②①②联立解得c2a2x12＝b2＋c2＝2c2－a2.又2AF→＝FC→，得x2＝3c－2x1，y2＝－2y1，代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1化简得x1＝3c2＋a24c，则c2a2×（3c2＋a2）216c2＝2c2－a2，化简得9c4－26a2c2＋17a4＝0，则9e4－26e2＋17＝0，又双曲线的离心率e1，解得e2＝179，所以该双曲线的两条渐近线的斜率之积为－b2a2＝1－e2＝1－179＝－89.故选B.15．已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且斜率为3的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，P点在x轴上方，有下列命题：(1)△PFM为正三角形(2)|PF|＝3|FQ|(3)S△MNF＝833其中正确的为()A．(1)(2)(3)B．(2)(3)C．(1)(3)D．(1)(2)答案A解析∵直线斜率为3，∴直线倾斜角θ＝60°，如图．∵∠MPF＝θ＝60°，|MP|＝|