理论力学 第5章 小振动

南京大学物理学院2012-2013学年第二学期理论力学TheoreticalMechanics1.机械振动基础2.单自由度系统的小振动3.多自由度系统的小振动4.阻尼振动5.受迫振动第五章小振动1.机械振动基础•振动:描述系统状态的参量(如位移、温度、电压、声压、波函数)在某一基准值附近往复变化的过程。•机械振动:力学系统中物体(或物体的某一部分)在某一中心位置两侧的往复运动。钟表摆的运动地震中地面的振动•工程技术中的振动问题:•振动控制潜艇汽车1.机械振动基础•现代科学中的振动问题:电磁波隐身衣Smith&Pendry,Science,DukeUniv.理想仿真实验纯导体NicolasPRL,UIUC(2011)声波隐身衣1.机械振动基础单自由度振动按系统的自由度分类多自由度振动弹性体的振动按受力情况分类：自由振动阻尼振动受迫振动按受力性质分类：线性振动非线性振动本章重点讨论有限多自由度系统的、线性、自由振动。振动的分类：2.单自由度系统的小振动一、自由度为1的保守系统的小振动拉格朗日函数：21=()2LTVmqVq取q为广义坐标，V(q)为系统势能212()(0)'(0)(0)VqVVqVq=dVFkqdq2211=22LTVmqkq固有频率20km0kqqm0sin()qAt因为：q=0是稳定平衡位置，且为势能零点，所以有0)0(V0)0('V0)0(V22~21)0(21)(qkqVqV''(0)Vk等效刚度系数2.单自由度系统的小振动单自由度自由振动的微分方程的标准形式：200qq解为：0sin()qAtA——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。0t+——相位，决定振体在某瞬时t的位置——初相位，决定振体运动的起始位置。T——周期，每振动一次所经历的时间。f——频率，每秒钟振动的次数，f=1/T。——固有频率，振体在2秒内振动的次数。反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。02T02.单自由度系统的小振动二、单摆系统的自由振动•自由振动：系统受初始扰动，仅在恢复力的作用下产生的振动。问题：用什么方法建立单摆的运动微分方程？•牛顿力学•牛顿第二定律•动量定理•动能定理•分析力学•动力学普遍方程•拉格朗日方程2.单自由度系统的小振动•牛顿力学2.单自由度系统的小振动•分析力学222vl（1）动能：2221122Tmvml（2）势能：（以固定点所在平面为重力势能零点）cosVmgl（3）拉格朗日函数：221=cos2LTVmlmgl22,sin()LLdLmlmglmldt，sin0gl（4）计算各偏导数：（5）代入拉格朗日方程并化简：2.单自由度系统的小振动固有频率20gltctcx0201sincos)sin(0tAsin0gl单摆的运动微分方程0gl平衡位置(=0)附近微幅运动的微分方程系统在平衡位置附近作微幅运动，此时1o,sin，略去二阶以上无穷小量：2.单自由度系统的小振动三、复摆系统的自由振动22ddmglIt20mglI)5(*lP（C点为质心）转动正向COFlM绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体22dsindMmglIt向外2202ddt2.单自由度系统的小振动0lstxokm0lxokm0kxxm0xmkxmk0光滑四、质量-弹簧系统的自由振动生活中的质量-弹簧系统：Helmholtz共振器2.单自由度系统的小振动2.单自由度系统的小振动2200222002200,0(/),0(/),0(/)mxkxxxkmmlmglglImglmglI质量—弹簧系统：单摆：复摆：单自由度自由振动的微分方程的标准形式：200qq例1：倒立摆(invertedpendulum)分析2.单自由度系统的小振动非稳态平衡，平衡位形是V(q)的局域极大点2.单自由度系统的小振动其中拉格朗日函数：2.单自由度系统的小振动代入拉格朗日方程系统运动方程：非线性方程，可在处线性化。2.单自由度系统的小振动思考：图示单摆系统，其支座作加速运动，求系统作微幅振动的固有频率。oagmIF质点坐标：拉格朗日函数：2.单自由度系统的小振动()sin0lga24,sin()0.1sin(0.1)gyAtaltl设：sin0,0lgaoagmIF2.单自由度系统的小振动2.单自由度系统的小振动例2：已知m,OA=AB=L,求系统微振动固有频率)cos1(4)sin632(212222mgLVmLmLT232~mLmLgmk6~~gxoAB解：系统的动能和势能22~21)0(21qmqmT22~21)0(21)(qkqVqV0~~qkqmmgLk4~222221212121BccomvJmvJTcos2,sin5.0,cos5.1LxLyLxBccC为AB杆的质心2.单自由度系统的小振动例3：系统如图所示，滑块的质量为m，杆长为L，质量为m，弹簧刚度系数分别为。当杆铅垂时，弹簧无变形，确定杆在铅垂位置附近作微振动的条件和振动的固有频率。12,kk1kLgm2kABgm2.单自由度系统的小振动解：给出系统的动能，取=0为系统的零势位221sin21LkVsin]23cos)[(dd22221mgLLkLkkVcos)23(2cos)(dd2222122mgLLkLkkV)cos1(23Lmg222)cos1(21Lk222212121ABCCAJmvmvT222)31(sin21mL231~mLm0mk~~)23()(~22221mgLLkLkkk1kLgm2kABgm22~21)0(21qmqmT22~21)0(21)(qkqVqV3.多自由度系统的小振动3.1多自由度系统小振动问题（推导）（1）一般保守体系的势能函数，在原点附近展开为无穷级数：2,1001(0)12ssVVVVqqqqqqq,112sTmqqmm常量,112sLTVmqqkqq2,101(),2sVVqkqqkkqq近似为广义坐标的正定齐二次式（2）稳定约束下，动能为广义速度的正定齐二次式，略去高阶项，系数为常量：作微振动的完整，稳定，保守的多自由度力学体系，拉格朗日函数为：101,2,smqkqs拉格朗日方程为：3.多自由度系统的小振动3.1多自由度系统小振动问题（推导）101,2,smqkqs拉格朗日方程为：2101,2,smkAs11121111211212211212211212122221111121211222121222221111ˆˆˆˆˆˆ0ssssssssssssskkkmmmAkkkmmmAKMAkkkmmmAkmkmkmkmkmkmKMA或者用矩阵表示为：其中也就是12222211220sssssssssAAAkmkmkmsinqAt3.多自由度系统的小振动3.1多自由度系统小振动问题（推导）2ˆˆˆ0KMA22()det0fkm本征值问题（求本征值2A和本征矢量）222111112121122221212222111122211220sssssssssskmkmkmkmkmkmkmkmkm即久期方程[思考]本征值ω2都是正实数?3.多自由度系统的小振动3.1多自由度系统小振动问题（推导）[思考]本征值ω2都是正实数?2ˆˆˆˆˆˆAKAAMA2101,2,smkAs1,2,As有非零解2,10sAmkA2ˆˆˆˆ0AMKA，或者由于动能和势能的正定性，上式的分子分母均为正本征值ω203.多自由度系统的小振动3.1多自由度系统小振动问题（推导）1,2,s2ˆˆˆ0MKA,1,2,Assin,1,2,qAts11sin,1,2,ssqCqCAts取正ω，记ω1，ω2，…ωS，本征频率或简正频率。对每一个对应的本征矢量对应于简正频率的本征解：这是以简正频率所作的简谐振动，称为一种简正振动模式。微振动问题的通解为本征解的线性叠加,C为2s个积分常数，由初条件（初位形和初速度）决定3.多自由度系统的小振动3.2一般的二自由度线性系统二自由度线性系统的动力学方程021222112112122211211xxkkkkxxmmmm0KqqMM：广义质量矩阵，K：广义刚度矩阵3.多自由度系统的小振动拉格朗日函数：问题：建立图示耦合质量弹簧系统的动力学方程k1km1x2xmk选取振子偏离平衡位置时的位移为广义坐标22121122Tmxmx动能22211212111()+222Vkxkxxkx势能22221211112121111()()2222LTVmxmxkkxkxxkkx3.多自由度系统的小振动0MqVq特征方程11110kkmkkkkmVM特征根1122kkkmm11112112000xkkkxmxkkkxm],[21xxTq广义质量矩阵广义刚度矩阵00mmM1111kkkkkkV矩阵形式的动力学方程3.多自由度系统的小振动特征频率111222kkkmm1121111222110kkmkaaaakkkm2221111222110kkmkaaaakkkm方程的解：11112222111222sin()sin()sin()sin()xatatxatat3.多自由度系统的小振动方程的解：11112222111222sin()sin()sin()sin()xatatxatat（2）初始条件：1212(0)(0),(0)(0)xxxx1122220,sin()axxat（1）初始条件：1212(0)(0),(0)(0)xxxx2121110,sin()axxatk1kmmkk1kmmk•物理前沿中的振动耦合问题:3.多自由度系统的小振动ShiningZhu,NaturePhotonics(2009)PRB76,073101(2007)•物理前沿中