圆锥曲线常见题型及答案

圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x轴和y轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,aaa，2,2,bbb，2,2,ccc，2,,2ppp的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222bac，双曲线中222bac，离心率ace，准线方程cax2；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（）A．421PFPFB．621PFPFC．1021PFPFD．122221PFPF（答：C）；（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）（4）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22）；（5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214xy）；（6）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10,4(P，则C的方程为_______（答：226xy）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：①范围：,axabyb；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线2axc；⑤离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。例：（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是__（答：3或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：pecba,,,,22）（2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例）：①范围：xa或,xayR；②焦点：两个焦点(,0)c；③对称性：两条对称轴0,0xy，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0xykk；④准线：两条准线2axc；⑤两条渐近线：byxa。⑥离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；例：（3）双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,则双曲线的离心率为______（4）双曲线221axby的离心率为5，则:ab=（答：4或14）；（5）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]32）；（3）抛物线（以22(0)ypxp为例）：①范围：0,xyR；②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2px；⑤离心率：cea，抛物线1e。（4）点00(,)Pxy和椭圆12222byax（0ab）的关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab例：（6）1162522yx设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为________（答：)161,0(a）；（7）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：353）；（8）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（9）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,4)）；（10）点P在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：2512）；三、直线与圆锥曲线的关系题（1）写直线方程时，先考虑斜率k存在，把直线方程设为bkxy的形式，但随后应对斜率k不存在的情况作出相应说明，因为k不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去x或消去y，得到方程02cbxax①或02cbyay②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。（3）当方程①或②的二次项系数0a时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）（4）当方程①或②的二次项系数0a时，判别式△0、△0、△0，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△0来求斜率k的范围；例题：（1）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：445,33）；（3）直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（4）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提0a，△0），记为AB，其中),(11yxA，),(22yxB，AB的坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出21,xx，再代入直线方程求21,yy，或由方程②求出21,yy，再代入直线方程求21,xx。（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程02cbxax①求出2121,xxxx，),(11yxA，),(22yxB在直线bkxy上，∴bkxy11，bkxy22，)(2121xxkyy,∴2212221221))(1()()(xxkyyxxAB]4))[(1(212212xxxxkak)1(2。请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去x，得到02cbyay②，继而用韦达定理，求出2121,yyyy，)(12121yykxx,∴2212221221))(11()()(yykyyxxAB]4))[(11(212212yyyykak)11(2；（6）若抛物线22(0)ypxp的焦点弦为AB，1122(,),(,)AxyBxy，则①12||ABxxp；②221212,4pxxyyp（7）若OA、OB是过抛物线22(0)ypxp顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p（7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程02cbxax①求出21xx，设弦),(11yxA),(22yxB的中点为),(00yxM，则2210xxx，M点也在直线bkxy上，∴bkxy00。如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率k有关，而不涉及弦长，则可把弦AB的坐标),(11yx，),(22yx直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有)(21xx、)(21xx、)(21yy、)(21yy，这些都与弦中点坐标和弦的斜率k有关。（点差法）（8）弦AB满足有关的向量的条件，如0OBOA（O为原点），则02121yyxx，bkxy11，bkxy22，∴0)()1())((2212122121bxxkbxxkbkxbkxxx.又如过椭圆2222yx的右焦点1F的直线l与该椭圆交于,MN两点，且326221MFMF，求直线l的方程。特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！例：（1）抛物线xy22上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；（2）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280xy）；（3）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：22）；（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，≠0）。如（4）与双曲线116922yx有共同的渐近线，且过点)32,3(的双曲线方程为_______（答：224194xy）（5）．经过双曲线1322yx的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB，（1）求|AB|（2）求三角形ABF1的周长，（F1是左焦点）（6）．已知抛物线xy2与直线y=k(x+1)相交于A、B两点（1）求证：OBOA（2）当10OABS，求k的值。（7）已知动直线(1)ykx与椭圆22:1553xyC相交于A、B两点,已知点7(,0)3M，求证：MAMB为定值.解:将(1)ykx代入221553xy中得2222(13)6350kxkxk4222364(31)(35)48200kkkk，2122631kxxk，21223531kxxk所以112212127777(,)(,)()()3333MAMBxyxyxxyy2121277()()(1)(1)33xxkxx2221212749(1)()()39kxxkxxk2222222357649(1)()()313319kkkkkkk4222316549319kkkk49。（8）过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。四、关于圆锥曲线的最值（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标),(00yxM，用两点间的距离公式表示距离d，利用点M的坐标),(00yx满足圆锥曲线方程，消去0y（或消去0x），把2d表示成0x（或0y）的二次函数，因为0x（或0y）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。例：（1）椭圆x^2/3+y^2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离；