数学建模实例—-汽车购买决策

购买汽车的选择摘要“我没有车我没有房”攒了几年钱终于有钱买车了，但我又担心买不到最称心的车子，于是我们团队就试图用数学建模的方法解决这个问题。对于这种关键因素难以量化的问题，我们决定用最适合的层次分析法。首先，考虑到课题目标除了“做出购买决定”之外还要评出配置最高、最舒适、最漂亮的车子，所以我们将这个决策问题分成四层：首层是目标层，即本课题最重要的目标—购买汽车的决策，第二层是准则层，分成“舒适”“配置”“美观”“价格”四个准则，这样做的好处是便于达到课题的二级目标。第三层是次准则层，将准则层的四大准则细分为八个准则，需要指出的是“价格”因为无法细分我们将它设定为同时属于二三层。第四层，即最后一层是方案层，有三套方案供选择。当思维过程转化为层次结构之后，从层次结构的第二层开始，对于从属于或影响上一层每个因素的同一层诸因素，用层次比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验，若检验通过，特征向量即为权向量；若不通过则需重新构造【1】。最后组合权向量并做一致性检验。都通过之后就便得到了一个决策。此刻我们做的是重新审视模型讨论模型的局限以及不完整之处，力求改进，直到做出满意的模型。1Ⅰ问题重述工作五年后，你决定要购买一辆汽车，预算十万左右。在汽车网上浏览了很久，初步确定将从三种价格相当的车型中选购一种。一般在购买汽车时考虑的标准可能包括：品牌、配置、动力、耗油量大小、舒适程度和外观美观情况等等。（以上提到的标准仅供参考，因人而异（1）不同的标准在你心目中的比重也许是不同的，请用定量的方法将其按比重的高低进行排序。（2）请用定量的方法说明哪种车配置最好、哪种车最舒适、哪种车最漂亮？（3）建立数学模型，用确定的量化方法作出购买决定。Ⅱ问题分析本题要求用定量的方法研究购买汽车的决策。而购买汽车，人们多半是凭经验或者主观判断的提出决策方案。如何用定量的方法解决定性的问题，是首先要解决的问题。我们马上想到了层次分析法（AHP），这是一种定性和定量相结合的系统化的、层次化的分析方法。用这种方法，首先我们需要查阅大量资料，了解汽车主要构造，相关配置，外观设置等。之后就是尝试着将这些资料整合分类为能为决策提供帮助的一个个准则，然后去确定这些准则在心中的比重。于是得到了层次结构模型。结合三款车子资料，通过成对比较阵、最大特征根、组合权向量等方法求出一个决策结果，接下来并不着急给模型定型，而是审视模型改进模型直到获得满意的模型。Ⅲ模型假设1）获得的三款车子资料准确无误。2）三款车子都没有质量问题。3）车子的售后服务都一样。Ⅳ模型的建立与求解4.1建立模型2通过仔细分析研究我们将各个因素按照不同的属性自上而下的分解成四个层次（见下图1），分别是目标层，准则层，子准则层，方案层。目标层即关于购买汽车的决策，准则层有四个因素：舒适、配置、美观、价格。针对这四个因素又补充了七个更具体的因素：空调系统，多媒体，动力，安全，内部配置，外观，车内装饰。第四层，即最底层是方案层。我们选择了三款车子作为备选方案，分别是：①长安福特嘉年华2011款三厢1.5L自动时尚型；②长城V802012款1.5L手动尊尚型；③比亚迪S62011款2.0L手动豪华型。图一：4.2模型的求解1）从准则层开始构造成对比较阵：A=11/51/21/3513221/311/231/221用和法求其最大特征根和特殊向量：购买汽车的决策A配置B2价格B4C8美观B3舒适B1空调系统C1多媒体C2动力C3安全C4内部配置C5外观C6车内装饰C7福特D1长城D2比亚迪D3准则层目标层子准则层方案层3⒈将A的每一列向量归一化得ij=ija/1nijiaA=0.0910.0980.0770.0870.4550.4920.4620.5220.1820.1640.1540.1300.2730.2460.3080.2162．对ij按行求和得i=1nijj=(0.353,1.931,0.630,1.088)T3.对i归一化i=i/1nii,(2)12(,,...,)Tnw=（0.088，0.483,0.158,0.272）T4.计算=1()1niiiAwn=14(0.3541.9410.6311.0940.0880.4830.1580.272)=4.0145．用公式1nCIn检验一致性，得CI0.05CICRRI=0.0050.90=0.0560.1一致性检验通过。2）同理在子准则层构造三个成对比较阵B1=121/21B2=1231/2121/31/21B3=131/31计算可得(31)W（0.667，0.333）(32)W（0.539，0.297，0.164）(33)W（0.750，0.250）需要指出的是B4和C8同是“价格”，所以(34)W（1.000）。一致性指标分别为(31)0CI，(32)0.005CI，(33)0CI，(34)0CI。4C1-C8对目标层的权向量分别是(31)w(31)(21)Ww=0.667x0.088=0.059同理(32)w=0.029，(33)w=0.026，(34)w=0.143，(35)w=0.079，(36)w=0.119，(37)w=0.039，(38)w=0.272。此处组合一致性检验结果为0.0020.1一致性通过。3)如何对方案层评估是问题的一个关键，为了尽量客观的说明问题，我们取得尽量多的数据便于定量。表格1空调设备对比车型：福特嘉年华长城v80比亚迪S6手动空调：有无无自动空调：无有有后排独立空调：无有无后座出风口：无有无温度分区控制：无有有空气调节/花粉过滤：无无有评分：143表格2多媒体对比车型：福特嘉年华长城v80比亚迪S6中控台彩色大屏：无有无外接音频接口：有有有单碟CD：有无有单碟DVD：无有无扬声器数量：464评分：464表格3动力对比车型：福特嘉年华长城v80比亚迪S6发动机：1.5LL41.5LL42.0LL4进气形式：自然吸气涡轮增压自然吸气最大马力（ps）：103133140最大扭矩（n·m）：138188186变速箱4档手自一体五档手动五档手动5最高车速（km/h）:169170180最大功率（kw）：7698103评分：578表格4安全对比车型：福特嘉年华长城v80比亚迪S6ABS防抱死：有有有制动力分配：有有有安全带未系提示：有有有驾驶座安全气囊：有有有副驾驶安全气囊：有有有LATCH座椅接口：无有有发动机电子防盗：有有有车内中控锁：有有有无钥匙启动系统：无无有评分：789表格5内部配置对比车型：福特嘉年华长城v80比亚迪S6方向盘上下调节：有有有方向盘前后调节：无无有多功能方向盘：无有有倒车雷达：无有无行车电脑显示屏：有无有评分：234表格6外观对比车型：福特嘉年华长城v80比亚迪S6级别：小型车MpvSuv长X宽X高（mm）：4297*1722*14674574*1704*18604810*1855*1680铝合金轮毂：有有无评分：667表格7车内装饰对比车型：福特嘉年华长城v80比亚迪S6真皮方向盘：无有有真皮坐椅：无有有评分：1226表格8价格对比车型：福特嘉年华长城v80比亚迪S6价格（万元）：9.7910.298.99评分：123注：以上评分规则如下：①．有无选项的设备视为同质每一个“有”一分；②.有具体数据的进行数据比较，从大到小依次评分3，2，1（并列的分数相同）。③.当某项总分数超过9进行等比缩小取近似值使其个个总分都在9分以内。④.特殊情况如外观对比车型级别“小型车”“MPV”“SUV”依次得分2，1，3。由以上信息可以做出8个成对比较阵：C1=1431/4121/31/21C2=1311/311/3131C3=11/21/3211/2321C4=11/21/3211/2321C5=11/21/3211/2321C6=111/2111/2221C7=11/21/2211211C8=121/21/211/321/31由方案层的成对比较矩阵可以计算出权向量(4)kw，最大特征根k和一致性指标kCI，结果列入下表。k1234(4)kw0.6200.2420.1390.4290.1430.4290.1640.2970.5390.1640.2970.539k3.0593.0003.0093.0097kCI0.029500.0050.005k5678(4)kw0.1640.2970.5390.2500.2500.5000.2000.4000.4000.2970.1640.539k3.0093.0003.0003.009kCI0.005000.008组合一致性检验的结果为0.0330.1通过。4）计算各个方案的权重方案的权重=方案在动力等准则的权重以及动力等准则在目标的权重（已知）相应项的两两乘积之和。即方案一的权重：=0.620x0.059+0.143x0.029+0.297x0.260+0.297x0.143+0.297x0.079+0.250x0.119+0.200x0.039+0.297x0.081=0.247同样计算可得方案二、三的权重分别为0.251，0.503。由此可见方案三（比亚迪S6）是最好的选择。5）选出最舒适，配置最高，最漂亮的车子计算方案舒适度等在目标中的权重=方案在舒适的子准则层各项占得权重与子准则占目标的权重乘积之和。因此可得下表：舒适配置美观方案一（福特嘉年华）0.0490.0790.0388方案二（长城V80）0.0180.1420.061方案三（比亚迪S6）0.0200.260.076由表可见最舒适的车子是方案一（福特嘉年华），配置最好的车子是方案三（比亚迪S6），最漂亮的车子是方案三（比亚迪S6）。Ⅴ模型结果分析和检验模型结果表明方案三最好，即该选择比亚迪S6。就实际情况来看，价格最贵的长城没有拿到一个第一，关键原因是它是一款以容量为特色的MPV，而这项因素又不是我们所在意的。比亚迪因为是新款加上独特的设计给人一种柔和顺滑的美观，拿到最漂亮的头衔也是意料之中的事，而配置方面也是处于领先的地步，而最后决策结果更是毋庸置疑了。总体来看模型分析的结果还是有一定说服力的，有一定的可取处。但是具体数据依旧有些不合适仍需要慢慢改善。还有一点就是模型搜集的数据不够丰富，四层模型有一定的特色和优势，一个模型可以解决多个不同目标自我感觉不错，准则分层略显不足。Ⅵ模型的评价与优化模型的具体数据有些不合适仍需要慢慢改善。模型的数据不够丰富，四层模型有一定的特色和优势。一个模型可以解决多个不同目标。但并不能改变模型功能单一的不足，分层做的略显不足。Ⅶ参考文献【1】2011年《数学模型》第三版高等教育出版社姜启源谢金星叶俊编【2】参考网站：太平洋汽车网9