单个正态总体的假设检验

学年论文（本科）学院数学与信息科学学院专业信息与计算科学年级2011级姓名姚瑞娟论文题目单个正态总体的检验假设指导教师韩英波职称副教授成绩2014年3月10日学号：20115034036目录摘要...................................................1关键词...................................................1Abstrac........................................................................................................1Keywords....................................................................................................1前言.....................................................11假设检验的基本步骤.....................................21.1建立假设...................................................21.2建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式......................22单个正态总体均值的检验.................................32.1已知时的检验...........................................42.2未知时的t检验............................................63单个正态总体方差的检验.................................8参考文献.................................................91单个正态总体的假设检验学生姓名：姚瑞娟学号：20115034036数学与信息科学学院信息与计算科学专业指导老师：韩英波职称：副教授摘要：本文介绍了假设检验的基本步骤,如何建立假设检验,判断假设是否正确.此外,从2已知和2未知详细的讲述了单个正态总体的检验,还有单个正态总体方差的检验,及与它们相关的应用举例.关键词：正态分布；假设检验；均值；方差；拒绝域；接受域；原假设；HypothesistestofonenormalpopulationAbstract：Itintroducesthebasicstepsofhypothesistestinthispaper,andhowtobuildhypothesisandcorrectjudgmenttest.Inaddition,itdetailedintroducesthesinglehypothesistestfromvarianceisknownandunknown.Thereisasingleofnormalpopulationvariancetestandtherelatedapplication.Keywords：normaldistribution；pricevalue；hypothesistest；variance；rejectedregion；receptiveregions；theoriginalhypothesis前言假设检验是由K.Pearson于20世纪初提出的,之后由费希尔进行了细化,并最终由奈曼和E.Pearson提出了较完整的假设检验理论.统计推断的一个重要内容就是假设检验.然而,正态分布正态分布是最重要的一种概率分布,正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moiré于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大他使正态分布同时有了”高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他.也是出于这一工作,高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举.但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票,其上还印有正态分布的密度曲线.这传达了一种想法,在高斯的一切科这要到20世纪正态小样2本理论充分发展起来.一个随机变量,如果是由微小的独立的随机因素的叠加结果,那么这个变量一般都可以认为服从正态分布,因此很多随机变量都可以用正态分布描述或近似描述,譬如,测量误差,厂品质量,人的身高,年龄雨量等都可以正态分布描述.1假设检验的基本步骤1.1建立假设设有来自某一个参数分布族,|Fxx的样本1,,nxx,其中为参数空间设00,,则命题00;H称为一个假设或原假设或零假设,若有另一个1112,,,则命题11;H称为0H的对立假设或备择假设，于是,我们感兴趣的一对假设就是00:Hvs11:H(1)其中”vs”是versus的缩写,是”对”的意思.对于假设(1),如果0只含有一个点,则我们称之为简单原假设,否则就称为复杂或复合原假设.同样对于各种备择假设也有简单与复杂之别,当0H为简单假设时,其形式可写成00;H,此时的备择假设通常有三种可能:00:,H00:H,00:,H在假设检验中通常不轻易否定的假设为原假设.1.2建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式对于(1)的假设检验就是描述这样一个法则:当有了具体的样本后,按该法则就可以判断是接受0H还是拒绝0H,即检验等价于把样本空间划分为两个互不相交的部分W和W,当样本属于W时,拒绝0H:否则接受0H.于是,我们称W为该检验的拒绝域,而W为接受域.3由样本对原假设进行检验总是通过一个统计量完成的,该统计量为检验统计量.比如,样本均值是一个很好地检验统计量,因为要检验的假设是正态总体均值,在方差已知场合,样本均值x是总体均值的充分统计量.样本均值x愈大,意味着总体均值也大,.样本均值x愈小,意味着总体均值也小,,所以拒绝域形如1,,:nWxxxcxc.是合理的，其中临界值c待定.当拒绝域确定了,检验的判断准则跟着也就确定了:如果1,,nxxW,则拒绝0H:如果1,,nxxW,则接受0H。2单个正态总体均值的检验设1,,nxx施来自2,N的样本,考虑如下三种关于的检验问题Ⅰ00:Hvs10;H,Ⅱ00:Hvs10:H,Ⅲ00:Hvs10:H.其中0是已知常熟,由于正态总体含两个参数,总体方差已知与否对检验有影响,通常分为已知和未知两种情况讨论.已知时的的检验,对于单侧检验问题,由于的点估计是x,且2,/xn,故选用检验统计量0/xun.是恰当的.直觉告诉我哦们,当样本均值x不超过设定均值0时,应倾向于接受原假设:当样本均值x超过0时,应倾向于拒绝原假设.可是,在随机性存在的场合,如果x比0大一点就拒绝原假设似乎不当,应当x比0大到一定程度时拒绝原假设才是恰当的,这就存在一个临界值c,拒绝域为411,,:nWxxuc.常减记为c,若要求检验的显著性水平为,则c满足0Puc.由于0时0,1uN,故1cu,最后的拒绝域为11Wuu.该检验用的统计量是u统计量,故一般称为u检验,该检验的势函数是的函数,它可用正态分步写出,具体如下,对,.11gPXWPuu01/XPun01/XPun01//XPunn011/nu.由此可见,势函数是的增函数,由增函数性质可知,当0g就可保证在0时有g所以上述求出的检验是显著性水平为的检验.2.1已知时的检验例1从甲地发送一个信号到乙地,设乙地接受到的信号值是一个服从正态分布2,0.2N的随机变量,其中为甲地发送的实值信号,现甲地重复发送同一信号5次,乙地接收到的信号值为8.058.158.28.18.25设接受方有理由猜测甲地发送的信号值为8,,问能否接受这种猜测.解这是一个假设检验的问题,总体2,0.2XN,待检验的原假设0H与备择5假设1H分别为0:8Hvs1:8H.这是一个双侧检验问题,检验的拒绝域为1/2uu.取显著性水平0.05,则查表知0.9751.96u,现该例中观测值可计算得出8.15,58.158/0.21.68xu.u值未落入拒绝域1.96u内,故不能拒绝原假设,即接受原假设,可认为猜测成立.我们也可以采用p值完成此检验,此处01.68u,0.093p.由于p值大于事先给定的水平0.05,故不能拒绝原假设,结论是相同的.进一步我们从p值还可以看到,只要事先给定的显著性水平不高于0.0935,则都不能拒绝原假设:而若事先给定的显著性水平高于0.093,如事先给定的显著性水平为0.10,,则检验就会做出拒绝原假设的结论.说明,在实际中也经常会遇到如下两个检验问题:Ⅳ00:Hvs10:H,Ⅴ00:Hvs10:H.它仍可用检验统计量u施行检验,检验问题Ⅳ的拒绝域与检验问题Ⅰ的拒绝域相同.即1Wuu.这是因为检验问题Ⅳ与Ⅰ的备择假设相同,而Ⅳ的原假设是Ⅰ的原假设的子集,由于此时u检验的势函数是的单调增函数,因此,检验问题Ⅳ的显著性水平的检验与检验问题Ⅰ的显著性水平的检验是相同的,从而拒绝域也相同.它们的检验的p也相同,类似的,检验问题Ⅰ与检验问题Ⅱ的拒绝域以及p值也是相同的,这个现象在以后的其它检验中也会出现,结论是相似的.例2根据长期经验和资料的分析,某砖厂生产的砖的”抗断强度”X服从正态分布,方差21.21.从该厂产品中随机抽取6块,测得抗断强度如下(单位:kg·cm-2).632.5629.6631.6430.0031.8731.03检验这批砖的平均抗断强度32.50kg·cm-2是否成立(取0.05,并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化)?解提出假设0010:32.50,:HH.再选取统计量0/xzn,若0H为真,则0,1zN.对给定的显著性水平0.05,求/2z使/2PZz,这里/20.0251.96zz计算统计量z的观察值0031.1332.503.05/1.16xzn.判断,由于00.0253.051.96zz,所以在显著性水平0.05下否定0H,即不能认为这批产品的平均抗断强度是32.50kg·cm-2.2.2未知时的t检验对于问题Ⅰ,由于未知,0/xun给出的u含未知参数而无法计算,需要对它修改,一个自然地想法就是将其中未知的替换成样本标准差s,这就形成t检验统计量0nxts.由定理5.4.1可知,在0时1ttn,从而检验问题Ⅰ的拒绝域为111Wttn.检验的p值是类似的,对给定的样本观测值,可以计算出相应的检验统计量t的值,记为00nxts,这里的x,s是由样本观测值得到的,记t是服从自由度为1n的t分布的随机变量,则10pptt.例3某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布,其均值设定为240cm,现从该厂抽取5件样品,测得其长度为(单位:cm)7239.7239.6239240239.2,判断该厂此类铝材的长度是否满足规定要求.解这是一个关于正态均值的观测假设检验问题,原假设0:240H,备择假设是是1:240H,由于未知,故采用t检验,其拒绝域为1/21ttn