学案与测评数学苏教版文科第4单元导数及其应用-65页

第四单元导数及其应用知识体系第一节导数的概念及运算基础梳理1.函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率为,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0).、1212x-x)f(x-)f(xxy)f(x-)f(xx0x0xy(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点x=x0处的切线的斜率.相应地，切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x).原函数导函数f(x)=kx+b(k,b为常数)f′(x)=kf(x)=Cf′(x)=0f(x)=xf′(x)=1f(x)=x2f′(x)=2xf(x)=x3f′(x)=3x2f(x)=f(x)=xa(a为常数)f(x)=ax(a＞0且a≠1)4.基本初等函数的导数公式1f(x)x2x1-(x)fx21(x)fxf′(x)=axa-1f′(x)=axlnaf(x)=logax(a＞0且a≠1)f(x)=exf′(x)=exf(x)=lnxf(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxaxln1(x)fx1(x)f5.导数运算法则(1)［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x);(2)［Cf(x)］′=Cf′(x)(C为常数);(3)［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);0][g(x)g(x)(x)gf(x)-(x)g(x)fg(x)f(x)(4)2典例分析题型一利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解∵∴当Δx无限趋近于0时，趋近于2,∴y′|x=1=2.学后反思利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对ΔyΔx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f′(x).2xxx2xx1-x)(1xf(1)-x)f(1xy222xy举一反三1.已知，利用定义求y′,y′|x=1.解析∴当Δx趋近于0时，趋近于x,∴y′|x=1=xyxxx1xxxxxxx-xxxy,x-xxyxy2121题型二利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数..1-e1e(2)ysinx;x(1)yxx2分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算..1)-(e2e-1)-(e1)(ee-1)-(ee1)-(e1)-1)(e(e-1)-(e)1(ey1-e1ey2xx2xxxxx2xxxxxxx解(1)y′=(x2)′sinx+x2·(sinx)′=2xsinx+x2cosx.(2)学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.举一反三2.求函数的导数.解析：sinxxxcosxysinx)(x1-xcos-sinxxsinx-xxcos-sinx)(xx)cosx)(1cos(x-sinx)sinx)(x-(1sinx)(xsinx)x)(xcos(x-sinx)(xx)cos(xy222题型三导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.分析第（1）问可利用公式求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.ts解(1)质点在［1,1+Δt］这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度.t3--6ts(1)-t)s(1ts6-tslim0t方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s′(t)=-6t,当t=1时，v=-6.学后反思导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题举一反三3.(创新题)神舟飞船发射后的一段时间内，第t秒时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)求第t0秒末的瞬时速度；(2)经过多少时间飞船的速度达到75m/s?解析：(1)∵h′(t)=15t2+60t+45,∴飞船在第t0秒末的瞬时速度为h′(t0)=15t20+60t0+45.(2)由v(t)=h′(t)=75,得15t2+60t+45=75,解得t=-2,或t=--2(舍去).故经过(-2)s飞船速度达到75m/s.666题型四导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.34x31y3分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f′(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.解（1）∵y′=x2,………………………………………………………….2′∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4,………………………3′∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0……………………………………………………………….4′(2)设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y′|x=x0=x20………………….…6′34x31y3)34x31,A(x300∴切线方程为即∵点P（2，4）在切线上，∴即x30-3x20+4=0,∴x30+x20-4x20+4=0,∴x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,……………………………….12′故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0………………………….14′),x-(xxy34x31y0203034x32-xxy302034x32-xx243020学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.举一反三4.已知抛物线y=ax2+bx+c过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直线y=x-3相切，求实数a,b,c的值.解析：∵曲线过点P(1,1),∴a+b+c=1,①又∵y′=2ax+b,∴y′|x=2=4a+b,∴4a+b=1.②又∵曲线过点Q（2,-1）,∴4a+2b+c=-1,③联立①②③得a=3,b=-11,c=9.易错警示【例】已知曲线上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解∵∴在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.323x1xxxy3xy3xy正解如右图，按切线的定义，当Δx→0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.10.(2009·福建改编)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围.解析:∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)=0有解，即有解,∴,∴a∈(-∞,0).考点演练x12ax(x)f012axx22x1-a11.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.解析：∵f(x)过点（2,0）,∴f(2)=2×23+a×2=0,解得a=-8,同理g(2)=4b+c=0.∵f′(x)=6x2-8,∴在点P处切线斜率k=f′(2)=6×22-8=16.又g′(x)=2bx,∴2b×2=16,∴b=4，∴c=-4b=-16.故a=-8,b=4,c=-16.12.(2019·宁夏)设函数(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.bx1axf(x)解析:(1).38-b,49a-1b1,a0,b)(21-a3,b212a,b)(x1-a(x)f22或解得于是∵a,b∈Z,∴.1-x1xf(x)(2)证明:已知函数y1=x,都是奇函数，∴函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.x1y2x1xg(x)1,1)-(x11)-(x1-x1xf(x)（3）证明：在曲线上任取一点由f′(x0)=知，过此点的切线方程为令x=1,得,∴切线与直线x=1的交点为（1,）令y=x,得x=2x0-1,∴切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).直线x=1与y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为所以所围三角形的面积为定值2.,1-x1x,x000201)-(x1-1).x-(x1)-(x1-11-x1x-x-y02000201-x1xy001-x1x002.|2-2x|1-2x221|1-1-2x|1-1-x1x2100000第二节导数的应用（Ⅰ）1.函数的单调性对于函数y=f(x)，如果在某区间上f′(x)＞0,那么f(x)在该区间上是增函数;如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上是减函数.2.函数的极值与最大值（1）如果在x0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,且f′(x0)=0,那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0,且f′(x0)=0,那么f(x0)是极小值.（3）函数的极大值、极小值统称为函数的极值.（4）如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数在定义域上的最大值.基础梳理题型一利用导数求函数的单调区间【例1】已知f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.分析通过解f′(x)≥0,求f(x)的单调递增区间.解∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.令f′(x)≥0,得ex≥a,当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；当a＞0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a＞0时，f(x)的单调增区间为［lna,+∞).典例分析学后反思求函数的单调区间，就是解f′(x)＞0或f′(x)＜0，这些不等式的解就