万有引力定律及应用(完整)

万有引力定律及应用复习（完整）福建省南靖第二中学吴旺本一、有关地球的常数•地球赤道半经（α）：6378137m*•地球极半经（с）：6356752m*•赤道标准重力加速度（γe）：•（978032±1）×10-5m/s2•地球的其它数据•地球平均半经：6371km•子午线周长：40008.08km•赤道周长：40075.24km•地球的面积：51000万km2*•海洋面积：36100万km2，占地球总面积的70.8％•陆地面积：14900万km2，占地球总面积的29.2％•地球的体积：10830亿km3*地球的质量：5.976×1027g*•地球的平均密度：5.517g/cm3•物体脱离的临界速度：11.2km/s赤道上点的线速度：465m/s•地球沿轨道运动的平均速度：29.78km/s•大陆最高山峰（珠穆朗玛峰）：8846.27m•大陆平均高度：825m海洋最深海沟：-11034m•海洋平均深度：-3800m•大陆和海洋的平均高度：-2448m（即全球表面无起伏，将被2448m厚的海水所覆盖）二、地球的重力•地球的重力——地球对地表和地内物质的引力。–据万有引力定律：F=G·M·m/r2–地球赤道处重力加速度g=9.780318(m/s2)–地球两极处重力加速度g=983.2177(m/s2)–两极，重力比赤道处大0.53％，也就是说把在两极重100kg的物体搬到赤道地区时，则变成99.47kg。三、地球上重力的变化•重力随纬度的增加——增加。•重力随海拔高度的增加——减小。•重力随深度的增加先增加，然后减小，到地心趋向于零。•重力：物体受到的重力，是由于地球的吸引而产生的•（1）重力的大小：同一地点重力的大小与成正比，即G=。•重力的大小不但跟物体的质量有关，还与物体所处的、有关。•（2）重力的方向：向下，除了在赤道和极地附近，一般不通过地心。•（3）重力的作用点：。重心是重力的等效作用点，通常可以认为重力就作用在这一点。物体的重心在物体上。mg高度纬度重心不一定竖直1、地面上物体的重力是如何测量的？2、如果我们跳出地球看，地球在自转，这时你眼中的物体还是静止的吗？它在做什么运动？此时物体所受的合外力还为0吗？ω为了研究方便，我们在赤道上进行分析。已知地球质量为6×1024kg，赤道处半径为6400km，自转周期为1天。GMm/R2-F=mω2R=m(2π/T)2RGMm/R2=9.799mm(2π/T)2R=0.034m(取M=5.976×1024kg，R=6378km)F=9.77mF引F拉mg=GMm/R2mg=F=9.77m四、“地球自转”模型地球表面上的物体随地球自转而绕地心做匀速圆周运动，其特点是：具有与地球自转相同的周期与角速度；万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力。F万F向mgRmmgRMmG22mgRMmG2适用条件赤道两极其它位置FGF向F万GF万GF向rF万=9.799mF向=0.034mG重=9.76mF万=9.799mF向=Mrω2r减小F向减小重力增大F万=9.832mF向=Mrω2r=0F向=0小重力最大两极，重力比赤道处大0.53％，也就是说把在两极重100kg的物体搬到赤道地区时，则变成99.47kg。重力、万有引力和向心力之间的关系FGF向F万GF万GF向r两极:F万=G赤道:F万=G+F向重力和向心力是万有引力的两个分力（1）静止在地面上的物体，若考虑地球自转的影响（2）静止在地面上的物体，若不考虑地球自转的影响2RMmGmg2gRGM黄金代换式（3）若物体是围绕地球空中运转，则有万有引力来提供向心力Gr2mMma五、重力和万有引力的关系oF引F向GN1、不考虑地球自转的条件下，地球表面的物体2MmmgGR2、重力则随纬度升高而增大赤道22MmmgGmRR两极2MmmgGR地球表面的物体所受的重力的实质是物体所受万有引力的一个分力思考：1、如果ω增大，则G如何变化？2、当ω达到多大时，赤道上的物体将脱离地球？重力加速度的变化:•重力加速度与高度的变化:若物体静止在距离地面高为h的高空•重力加速度与纬度的关系:2)('hRMmGmgghRRhRMGg222)()('计算地球质量的一种方法:忽略地球自转，地面上质量为m的物体所受重力等于地球对物体的引力，即：2RMmGmgGgRM2地球质量2MmmgGR应用－－星球表面的物体在星球（如地球）表面的物体，在忽略自转的情况下，此时物体所受重力与星球对它的万有引力视为相等。2MgGR行星表面的重力加速度：2gRMG测中心天体的质量：2GMgR黄金代换式：已知星球表面重力加速度g和星球半径R,求星球平均密度34gGR例题分析2MmmgGR表面：343MVR又：例3如果有一天，因某种原因地球自转加快，则地球上的物体重力将会发生变化。当赤道上的物体重力为零时，这时一昼夜将会有多长？（已知地球半径为）.mR6104.6对地球赤道上的物体,有通常情况,mω2R较小,可忽略RmRMmG22当地球自转加快时,将变大,mg变小,当mg小到零时,有mgRMmG2①即：②RTmRMmG222联立①②可得16002gRT秒解析RmmgRMmG22【例4】地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.8倍，则地球表面重力加速度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛一物体，物体在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？解：⑴设想地球表面有一质量为m的物体，忽略自转，则1121MmmgGR同理在月球表面：2222MmmgGR∴g1/g2=6⑵由竖直上抛运动规律可得，上升的最大高度202vHg122116HgHg点评：地球上不同纬度、不同高度的地方，重力加速度不同，这里我们又得到不同星球由于质量、半径不同，在表面对同一物体的引力不同，重力加速度也不同，同一物体从一个星球到另一星球，质量不变，重力发生变化。【例5】地球可视为球体，自转周期为T，在它两极处，用弹簧秤测某物体重力为P，在它的赤道上，用弹簧秤测同一物体的重力为0.9P，地球的平均密度是多少？分析：重力是由于地球的吸引而产生的，但不能认为重力就是地球对物体的吸引力。只有在两极处，重力才等于万有引力，在其他地方，由于地球自转，物体的重力都小于万有引力，严格来讲，重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。23223403043RMGTVGTR解：设物体质量为m，地球质量为M，半径为R。在两极处：物体重力等于万有引力2MmPGR赤道处：地球对物体的万有引力与弹簧对物体的拉力的合力提供向心力。由牛顿第二定律：22240.9MmGPmRRT23240RMGT∴【例6】月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着3kg的重物产生最大为10m/s2的竖直向上的加速度，g地=10m/s2，将重物和绳子带到月球表面,用该绳子能使重物产生在月球表面竖直向上的最大加速度是多大？解：由牛顿第二定律可知：对于这个重物，在地球表面：F-mg=ma在月球表面：''Fmgma2'1''10101018.3(/)6mgmamgagagmsm3.其它天体表面的重力加速度与上述规律相同。问题二：中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大，，现有一中子星，观测到它的自转周期为T，问：该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。分析：假设位于赤道处的一小物体质量为m，则当所需的向心力等于万有引力时，，M=ρV=πR3ρ，联立可得：ρ=。RmRMmG22)T2(π342GT3π某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，星球的平均密度是多少？解析：设被测物体的质量为m，星球的质量为M，半径为R在两极处：2(1)MmPGR在赤道上:2220.9(()2)MmFGPmRRT向由以上两式解得星球的质量为：23240RMGT例题分析完全解读P118考题4230GT343MVR又：FF引向基本：＝思路22222()MmvGmmrrmTrr一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动万有引力与天体的运动：1.基本方法：把天体的运动看作匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，即，，根据实际问题，要冷静思考，灵活运用关系式。Rf)m(2R)T2(mRmRvmrMmG22222ππω2.注意事项a：上面关系式中的两天体间距r与圆周运动轨道半径R不一定相同，如，双星问题。例题分析完全解读P120考题9（双星问题）解题要点：①双星的向心力大小相同②双星的角速度相同221211222mmGmRmRL1R2R1221RmRmvR因为：112221vRmvRm12RRL又：122()GmmL一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动人造卫星的运动规律22222()MmvGmmrmrmgrrT22MmvGmrrGMvr1vr22MmGmrr3GMr31r222()MmGmrrT32rTGM3Tr2MmGmgr2GMar21ar地轴地球自转赤道物体近地卫星同步卫星月球r=R地a=0.034m/S2V=456m/ST=24hr=7R地a=0.19m/S2V=3.1Km/ST=24hr=60R地a=0.0027m/S2V=1Km/ST=27.3dr=R地a=9.8m/S2V=7.9Km/ST=1.4h一个天体绕另一个天体做匀速圆周运动计算中心天体的质量另一种方法22222()MmvGmmrrmTrr2324rMGT如已知中心天体半径，则可求天体的平均密度3323343MMrRVGTR思考：如已知v、r；v、T如何求天体质量？思考：天体间的引力是由天体的质量决定的，它和苹果落地的力是否相同呢？(“月-地”检验)=2.71×10-3m/s2（2）根据:F引=GMm/r2所以，a∝1/r2a=g/602=2.72×10-3m/s2已知月球绕地球的公转周期为27.3天，地球半径为6.37×106m.轨道半径为地球半径的60倍。月球绕地球的向心加速度？22()arT2Ragr地（）（1）根据向心加速度公式：结论：地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一性质的力，遵循同一规律例题分析课课练P124练习20在地表测量：mgF分析：沿表面飞行：222()MmGmRRT消去R得：343416FTMGm在星球表面：2MmmgGR解：不计地球自转的影响，物体的重力等于物体受到的万有引力。例题分析地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R。21gr例题分析完全解读P113考题8分析：在地球表面：160mgN16mkg加速升空时：超重：Fmgma2()MmmgGRh2GMgR黄金代换式：41.9210hkm注意事项d：区别赤道上随地球自转的物体、近地卫星与同步卫星：gmR2MmGR2)T2m(πR2mMGR2)T2(mπR2mMGR2)T2(mπ半径R周期T向心力F关系式备注赤道上物体即为地球半径与地球自转周期相同，即24h此处的万有引力与重力之差在赤道上与地球保持相对静止近地卫星即为地球半径可求得T=85min此处的万有引力离地高度近似为0，与地面有相对运动同步卫星可求得距地面高度h≈36000km，约为地球半径的5.6倍与地球自周期相同，即24h此处的万有引力轨道面与赤道面重合，在赤道上空，与地面保持相对静止问题一：质量为1kg的物体，在两极与赤道的重力之差为：。分析：，则，。N1038.34mmG222