2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件：第四讲-一--数学归纳法

返回返回返回返回数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与的数学命题的证明．n＝k＋1正整数有关返回(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：①证明当n取(如取n0＝1或2等)时命题正确；②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明当时命题也正确．由此可以断定，对于任意的正整数n，命题都正确．第一个值n0n＝k＋1不小于n0返回返回[例1]证明：当n≥2，n∈N＋时，(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1n2)＝n＋12n.[证明](1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34.∴当n＝2时，等式成立．[思路点拨]注意到这是与正整数n有关的命题，可考虑用数学归纳法证明．返回(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即：(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1k2)＝k＋12k当n＝k＋1时，(1－14)(1－19)…(1－1k2)[1－1k＋12]＝k＋12k[1－1k＋12]＝k＋12k·kk＋2k＋12＝k＋22k＋1＝k＋1＋12k＋1.∴当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式成立．返回利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．返回1．在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有1－12＋13－14＋…＋1n－1－1n＝2(1n＋2＋1n＋4＋…＋12n)成立时，(1)第一步检验的初始值n0是什么？(2)第二步归纳假设n＝2k时(k∈N＋)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设n＝k(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立．返回解：(1)n0为2.此时左边为1－12，右边为2×14＝12.(2)假设n＝2k(k∈N＋)时，等式成立，就需证明n＝2k＋2(即下一个偶数)时，命题也成立．(3)若假设n＝k(k为正偶数)时，等式成立，就需证明n＝k＋2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立．返回2．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.证明：①当n＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，所以等式成立．②假设n＝k时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2返回＝(1k＋1＋1k＋2＋…＋12k)＋12k＋1－12k＋2＝(1k＋2＋…＋12k＋12k＋1)＋(1k＋1－12k＋2)＝1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝右边，所以，n＝k＋1时等式成立．由①②知，等式对任意n∈N＋都成立．返回[例2]求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．[思路点拨]本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明．[证明](1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k返回＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．返回利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．返回3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，[(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，返回由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．则①②可知对所有正整数n命题成立．返回4．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x＋y能被x＋y整除．(2)假设n＝2k－1时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－y2k－1(x＋y)(x－y)，根据归纳假设x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，另一项有因式x＋y，因此也能被x＋y整除，所以，当n＝2k＋1时，命题仍然成立．根据(1)(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.返回[例3]平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成12(n2＋n＋2)个区域．[思路点拨]用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k条直线将平面分成的部分数与k＋1条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到n＝k＋1时的证明．返回[证明](1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，又12×(12＋1＋2)＝2，∴n＝1时命题成立．(2)假设n＝k时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了12(k2＋k＋2)个区域．那么当n＝k＋1时，k＋1条直线中的k条直线把平面分成了12(k2＋k＋2)个区域，第k＋1条直线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区返回域分成了两块，因此增加了k＋1个区域，所以k＋1条直线把平面分成了12(k2＋k＋2)＋k＋1＝12[(k＋1)2＋(k＋1)＋2]个区域．∴n＝k＋1时命题也成立．由(1)、(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立．返回用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从n＝k到n＝k＋1时，新增加的量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．返回5．求证：凸n边形对角线条数f(n)＝nn－32(n∈N＋，n≥3)．证明：(1)当n＝3时，即f(3)＝0时，三角形没有对角线，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k)＝kk－32.将凸k边形A1A2…Ak在其外面增加一个新顶点Ak＋1，得到凸k＋1边形A1A2…AkAk＋1，Ak＋1依次与A2，A3，…，Ak－1相连得到对角线k－2条，原凸返回k边形的边A1Ak变成了凸k＋1边形的一条对角线，则凸k＋1边形的对角线条数为：f(k)＋k－2＋1＝kk－32＋k－1＝k＋1k－22＝k＋1[k＋1－3]2＝f(k＋1)，即当n＝k＋1时，结论正确．根据(1)、(2)可知，命题对任何n∈N＋，n≥3都成立．返回6．求证：平面内有n(n≥2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)证明：(1)当n＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立。(2)假设当n＝k时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)．那么n＝k＋1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)返回直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k＋1部分，所以这k＋1条直线彼此互相分割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2条线段(或射线)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)，(2)知，命题成立．