华南理工大学高等数学习题册第11章详细答案

院系班级姓名作业编号1第十一章无穷级数作业29常数项级数的概念和性质1．按定义判断下列级数的敛散性，若收敛，并求其和：（1）；∑∞=+−1)13)(23(1nnn解：因为1111(32)(31)33231nnnn⎛⎞=−⎜⎟−+−+⎝⎠所以111111133231331nnkSkkn=⎛⎞⎛⎞=−=−⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠⎝⎠∑1111111limlimlim1332313313nnnnnkSkkn→∞→∞→∞=⎛⎞⎛⎞=−=−=⎜⎟⎜⎟−++⎝⎠⎝⎠∑因此由定义可知该级数收敛（2）；∑∞=++111nnn解：因为11111nnnnnnnn+−==+−+−++所以()1111nnkSkkn==+−=+−∑，因此由定义可知该级数发散()limlim11nnnSn→∞→∞=+−=∞（3）；()∑∞=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−111091nnn解：因为()111999,1101010nnnnuuu−−−⎛⎞==−=⎜⎟⎝⎠所以()119199991011910101910110nnnnnnkS−=⎛⎞−−⎜⎟⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎝⎠=−=⋅=−−⎢⎥⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦−∑，因此由定义可知该级数收敛999limlim1191019nnnnS→∞→∞⎡⎤⎛⎞=−−=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦《高等数学》同步作业册2（4）；1πsin6nn∞=∑解：因为123456π1331sin,,,1,,,0,62222nnaaaaaaa=======，依次重复7891011121331,,1,,,02222aaaaaa=−=−=−=−=−=所以，，不存在66110,2nnSS===6611lim0,lim2nnnnSS=→∞→∞==limnnS→∞因此由定义可知该级数发散2．利用基本性质判别下列级数的敛散性：（1）；L++++121916131解：观察发现该级数为，是发散的调和级数每项乘以得到的，113nn∞=∑11nn∞=∑13由级数的基本性质，该级数发散（2）；LL+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+nn31213121312122解：观察发现该级数为，是收敛的两个等比级数，逐项11123nnn∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑112nn∞=∑113nn∞=∑相加得到的，由级数的基本性质，该级数收敛（3）；LL+++++++nn101212014110121解：观察发现该级数为，是收敛的等比级数与发散的111210nnn∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑112nn∞=∑逐项相加得到的，1110nn∞=∑由级数的基本性质，该级数发散（4）．L++++4331313131解：观察发现该级数一般项为，但13nnu=1limlim103nnnnu→∞→∞==由级数收敛的必要条件，该级数发散院系班级姓名作业编号3作业30正项级数及其收敛性1．用比较判别法（或定理2的推论）判定下列级数的敛散性：（1）；()∑∞=−+1212nnn解：由于，而是收敛的等比级数()213022nnnnu+−=≤132nn∞=∑从而由比较判别法，该级数收敛（2）．1π2sin3nnn∞=∑解：由于，而是收敛的等比级数π2sinπ302sin,lim132π3nnnnnnnu→∞==⎛⎞⎜⎟⎝⎠12π3nn∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑从而由比较判别法的极限形式，该级数收敛2．用达朗贝尔判别法判定下列级数的敛散性：（1）；∑∞=+1212nnn解：由于，()1121121120,limlim121222nnnnnnnnnununuρ++→∞→∞+++====+从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（2）；∑∞=1!2nnnnn解：由于，1112!2(1)!20,limlim1(1)2!nnnnnnnnnnnunnnununneρ+++→∞→∞+===⋅=+从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛（3）；11πtan2nnn∞+=∑解：由于，2111πtanππ120tan,limlimtan122(1)2nnnnnnnnuunnunρ++++→∞→∞===⋅=+从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛《高等数学》同步作业册4（4）．()∑∞=−1!!12!nnn解：由于，()()()121!!!(1)!10,limlim121!!21!!!2nnnnnnunnununnρ+→∞→∞−+===⋅=−+从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛3．用柯西判别法判定下列级数的敛散性：（1）；∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1413nnnn解：由于，313130,limlim1444nnnnnnnnnnuunnρ→∞→∞−−⎛⎞⎛⎞====⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠从而由柯西判别法，该级数收敛（2）．∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1312nnnnn解：由于，22110,limlim1333nnnnnnnnnnnnnennuuρ→∞→∞++⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠====从而由柯西判别法，该级数收敛4．用判别法判定下列级数的敛散性：−p（1）；∑∞=++1211nnn解：由于，而为的发散的222111110,limlim11111nnnnnnnunnn→∞→∞++++==⋅=++11nn∞=∑1p=级数，从而由判别法，该级数发散p−−p（2）．()∑∞=++14511lnnnn解：由于，而为()()()9855194488ln1ln1ln10,limlim011nnxnnxunnnxx→∞→+∞−+++=⋅==+++9181nn∞=∑的发散的级数，从而由判别法，该级数发散918p=p−−p5．设为正整数，证明：k（1）；0)!2(lim=+∞→kkkk院系班级姓名作业编号5解：对来说，1(2)!nnnn∞=∑由于，1111(1)(2)!0,limlimlim01(2)!(22)!2(21)nnnnnnnnnnunnnnununnnρ++→∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+⎝⎠===⋅==++从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知0)!2(lim=+∞→kkkk（2）．()+∞=+∞→kkkk2!lim解：对来说，()21!nnnn∞=∑由于，()()()()2112211!(1)0,limlimlim011!1!nnnnnnnnnnnunnnuunnnnρ++→∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+⎝⎠===⋅==++从而由达朗贝尔判别法，该级数收敛再由级数收敛的必要条件可知，2lim0(!)kkkk→+∞=从而由无穷大量与无穷小的关系()+∞=+∞→kkkk2!lim《高等数学》同步作业册6作业31交错级数与任意项级数的收敛性1．判别下列级数的敛散性；若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛：（1）；()∑∞=−−121nnnn解：该级数为交错级数，其一般项的绝对值为单调减少，()122221111,11nnnuuunnnnnnnn+====−+−+−−且，从而由莱布尼茨判别法知其收敛21lim0nnn→∞=−再由于，由判别法知发散，21lim1nnnn→∞⋅=−p−()211nnnn∞=−−∑从而原级数不会绝对收敛，只有条件收敛（2）；()Rxnnxn∈∑∞=,cos123解：由于，由判别法知，绝对收敛3322cos1,nxnn≤p−()Rxnnxn∈∑∞=,cos123（3）；nnnn1)1(1∑∞=−解：由于不存在，()lnln0lim11111limlim1,limxnxxnnnxnxxennee→+∞→∞→+∞→∞−====由收敛级数的必要条件，从而该级数发散（4）；()∑∞=−1211nnnn解：由于，()()11111limlim112lim1(1)22(1)2nnnnnnnnnunnunn+++→∞→∞→∞=−⋅−==++从而由达朗贝尔判别法，该级数绝对收敛（5）．()Rxnxnnn∈+∑∞=,)1(21解：当时显然收敛，否则0x=院系班级姓名作业编号7，1112(1)limlimlim2(2)22nnnnnnnnnxxuxnunx+++→∞→∞→∞+=⋅==+当时由达朗贝尔判别法，从而该级数绝对收敛，2x当时级数变为发散2x=111nn∞=+∑当时级数变为条件收敛2x=−()111nnn∞=−+∑7．若存在，证明绝对收敛．nnan2lim∞→∑∞=1nna证明：由已知322321limlim=lim=0nnnnnnananann→∞→∞→∞−=⋅从而绝对收敛．∑∞=1nna8．若级数绝对收敛，且，试证：级数和∑∞=1nna()L,2,11=−≠nan∑∞=+11nnnaa都收敛．级数是否收敛？为什么？∑∞=+1221nnnaa∑∞=+111nna证明：若级数绝对收敛，则必收敛，由必要条件∑∞=1nnalim0nna→∞=由，从而级数和都有意义，()L,2,11=−≠nan∑∞=+11nnnaa∑∞=+1221nnnaa而，从而级数和都收敛。21lim1,lim=01nnnnnnnnaaaaaa→∞→∞+=+∑∞=+11nnnaa∑∞=+1221nnnaa级数发散，因为，收敛的必要条件不满足。∑∞=+111nna1lim11nna→∞=+《高等数学》同步作业册8作业32幂级数及其求和1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域：（1）；()121121+∞=∑+−nnnxn解：()()11123limlim1211nnnnnnanRan+→∞→∞+−+==⋅=+−当时即为条件收敛，1x=±()121121+∞=∑+−nnnxn()1121nnn∞=−±+∑从而收敛域为[]1,1−（2）；nnnxn∑∞=+131解：1113limlim331nnnnnnanRan+→∞→∞++==⋅=+当时即为，由于从而级数发散，3x=±nnnxn∑∞=+131()1133nnnnn∞=±+∑3lim13nnnn→∞=+因此收敛域为()3,3−（3）；()01132++∑∞=axannnnn解：当时，01a≤2313211(1)limlim1(1)1nnnnnnannaRanan+→∞→∞++++==⋅=+++当时幂级数即为，由于从而级数发散1x=2311nnnna∞=++∑231lim1nnnnna→∞+⋅=+当时幂级数即为，由于且1x=()23111nnnnna∞=+−+∑231lim0nnnna→∞+=+从而级数收敛。因此收敛域当时22331(1)1(1)nnnnnana++++++01a≤[1,1)−当时，1a2313211(1)limlim(1)1nnnnnnannaRaanan+→∞→∞++++==⋅=+++院系班级姓名作业编号9当时即为即为，由于从而级数发散，xa=±()23111nnnnnana∞=+−+∑231lim1nnnnana→∞+=+从而当时收敛域为1a(),aa−（4）；()121141−∞=−∑⋅−nnnnxn解：()()1111(1)4limlim241nnnnnnnnanRan−+→∞→∞+−+⋅==⋅=⋅−当时即为条件收敛，2x=±()121141−∞=−∑⋅−nnnnxn()111nnn−∞=−±∑从而收敛域为[]2,2−（5）；()∑∞=1!!2nnnx解：()()122!!1limlim2!!1nnnnnaRan→∞→∞++==⋅=+∞因此收敛域为(),−∞∞（6）．()∑∞=−15nnnx解：对于，1nntn∞=∑11limlim11ntnnnaRnan→∞→∞+==⋅+=当时即为条件收敛，当时即为发散，1t=−1nntn∞=∑()11nnn∞=−∑1t=1nntn∞=∑11nn∞=∑从而原级数的收敛半径为1，收敛域为151,46txx−≤=−≤2．求下列幂级数的收敛域及其和函数：（1）；∑∞=+01nnnx解：()11limlim211nnnnaRnan→∞→∞+==⋅+=+当时，即为条件收敛，当时即为发散，1x=−()011nnn∞=−+∑1x=011nn∞=+∑《高等数学》同步作业册10从而幂级数的收敛域为[1,1)−设，则()01nnxSxn∞==+∑()()0101,,[1,1)1nnSxSxxxx∞=′===∈−⎡⎤⎣⎦−∑从而()()0001ln1,[1,1)1xxnnxSxxdx