理论力学课件第九章

理论力学理论力学理论力学引言回顾•静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；•运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；•动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。理论力学低速、宏观物体机械运动的普遍规律。动力学的研究对象：动力学的理论基础：牛顿定律的适用范围（1）不适于微观物体；（2）物体的运动速度不能太大。牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律动力学分为质点动力学和质点系动力学：质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统）本课程重点放在质点系动力学。理论力学一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系二.力学模型：1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。例如：研究卫星的轨道时，卫星质点；刚体作平动时,刚体质点。理论力学自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。三.动力学分类:质点动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。理论力学牛顿★牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。理论力学解决动力学两类基本问题的途径：•直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；•综合应用动力学普遍定理；•应用达朗伯定理。牛顿力学动力学的主要任务（解决的基本问题）：第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。理论力学第九章质点动力学的基本方程理论力学§9-1动力学的基本定律第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律（力与加速度之间关系定律）maF第三定律(作用与反作用定律)两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。惯性参考系理论力学★第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。•本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动的性质，即惯性。说明：•匀速直线运动称为惯性运动。•明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。理论力学★第二定律（力与加速度之间的关系的定律）质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。即Fam•此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。•质量是质点惯性的度量。说明：•在地球表面，物体受重力作用，有P=mg式中，g—重力加速度，一般取g=9.80m/s2。理论力学★第三定律（作用与反作用定律）两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。动力学基本定律说明：（1）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动的坐标系为惯性坐标系，（2）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。理论力学xozyrijkF1FnFiaFRaaaM根据牛顿第二定律，若质点M的质量为m，受n个力F1,F2,….,Fn作用，则有niim1Fa或RmFa22dtdra而niidtdm122Fr则矢量形式的质点运动微分方程。§9-2质点的运动微分方程理论力学1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影xozyrijkF1FnFiaFRaaaMkjia222222dtzddtyddtxdkjirzyxkjiFziyixiiFFF将式向坐标轴投影，得niim1Fa直角坐标形式的质点运动微分方程niziniyinixiFdtzdmzmFdtydmymFdtxdmxm122122122理论力学2.质点运动微分方程在自然轴上的投影bnaFτ(＋)(－)m在质点M的运动轨迹上建立自然轴系Mbn，根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹的密切面内，即nτnτa2vdtdvaant所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，则niitFdtdvm1niniFvm12nibiF10自然轴系的质点运动微分方程理论力学§10-3质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意投影的正负号。理论力学1、求质点的加速度yxoyx解：例：质点M的质量为m，运动方程是x=bcosωt,y=dsinωt，其中b,d,ω为常量。求作用在此质点上的力。ij,cos2222xtbdtxdaxytddtyday2222sin2、求质点所受的力由yixiFdtydmFdtxdm2222,得ymmaFxmmaFyyxx22,M理论力学讨论：rjijiF22)(myxmFFyx⑴力的方向永远指向椭圆中心，为有心力；⑵力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。易知：ymmaFxmmaFyyxx22,求质点的轨迹方程：12222dybx从运动方程中消去t，得yxorijyxyFMxF质点所受的力可表示为理论力学已知：曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,OA=r,AB=l,当比较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方程可近似写为lr/ttrlx2cos4cos412如滑块的质量为m,忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当和时,连杆AB所受的力.2π0t例9-1理论力学研究滑块cosFmax其中ttrxax2coscos2当20,1,0xar时且12mrFlrlrax222cos,2且时当lrlFmr2222222rlmrF属于动力学第一类问题。解:理论力学例9-2求:小球的运动速度和运动规律。已知：小球质量为m，在静止的水中缓慢下沉，初速度延水平方向，大小为。水的阻力为，为粘滞系数，如图所示。水的浮力忽略不计。0vv-FμyPF0vvMOx理论力学解:yyxxvmgtvmtymvtvmtxmdddd,dddd2222由时000yxvvvttvyytmvvmgy00dd1tmvvtvvxxxdd100积分00yxt由时，积分tevxxttmdd000ttmytemgy00d)1(d属于第二类基本问题。yPF0vvMOxtmxevv0)1(tmyemgv)1(0tmemvx)1(22tmegmtmgy理论力学60已知：一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成角。例9-3求：如小球在水平面内作匀速圆周运动，小球的速度与绳的张力。理论力学N96.1cosmgFsm1.2sin2mFlv属于混合问题。cos0Fmg2sinvmFsinl其中研究小球解：理论力学已知：粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。0例9-4求：滚筒每分钟的转数n。理论力学研究铁球cosN2mgFRvm0cos549.9RgnRnv30其中0,N0F当时，解得Rgn49.9当时，球不脱离筒壁。解：理论力学例在曲柄滑槽机构中，活塞和滑槽的质量共为50kg。曲柄OA长r=0.3m，绕轴O作匀速转动，转速n=120r/min。求滑块作用在滑槽上的水平力（各处摩擦不计）。理论力学理论力学