矩阵相似的若干判别法及应用

本科生毕业论文矩阵相似的若干判别法及应用学号：2011562010姓名：邵坷年级：2011级本科班系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：由金玲完成日期：2015年4月30日承诺书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任.毕业论文（设计）作者签名：日期：年月日目录摘要.....................................................................................................................................IAbstract....................................................................................................................................II前言....................................................................................................................................1第一章基本概念....................................................................................................................21.1矩阵...........................................................................................................................21.1.1矩阵的概念........................................................................................................21.1.2矩阵的性质........................................................................................................21.2矩阵相似...................................................................................................................31.2.1矩阵相似的概念................................................................................................31.2.2矩阵相似的性质................................................................................................4第二章矩阵相似的判别........................................................................................................52.1特征值与特征向量法判定.......................................................................................52.1.1特征值和特征向量的定义及求法.....................................错误!未定义书签。2.1.2特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定........................................52.2用初等变法换判定...................................................................................................82.3应用分块矩阵相似判定.........................................................................................10第三章矩阵相似的应用......................................................................................................133.1利用相似变换把方阵对角化.................................................................................133.2矩阵相似性质的简单应用.....................................................................................133.3矩阵相似在实际生活中的应用.............................................................................14结论..................................................................................................................................16参考文献..................................................................................................................................17致谢..................................................................................................................................18黑河学院本科毕业论文（设计）I摘要相似矩阵是高等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系.本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵黑河学院本科毕业论文（设计）IIAbstractThesimilarityofmatrixisoneofthemostimportantproblemwithintheareaoftheadvancedalgebra.Inaddition,thesimilarityofmatrixisanelementaryrelationshipbetweenthematrixes.Thispaperreviewsseveralimportantcriteriawhichareusedtojudgethesimilarityofmatrix.ThesecriteriaaregenerallybasedonthecalculationoftheEigenvalueandEigenvector,thediagonalizationofmatrix,theinvertibletransformationofmatrix,theelementarytransformationofmatrix,andthepartitionofthematrix.Further,theexamplesfollowandelucidatethecounterpartcriteria.Attheend,theapplicationofthesimilarityofmatrixisgiventodeepentheunderstanding.Keywords:Eigenvalue;Eigenvector;Similarityofmatrix;Distinguish;Partitionedmatrix黑河学院本科毕业论文（设计）1前言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.黑河学院本科毕业论文（设计）2第一章基本概念1.1矩阵矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要内容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.1.1.1矩阵的概念定义1.1由ts个数),2,1,,,2,1(njmiaij排成的s行t列的数表mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211我们把它称为s行t列矩阵,简ts阵矩,其中ija称为矩阵A的第i行第j列元素;如果矩阵A的行数和列数相等,则我们也把矩阵A叫做方阵A.定义1.2如果一个矩阵的元素全为零,我们就称之为零矩阵,记为mnO,我们也可以简单的记为O.定义1.3如果方阵A中的元素能够满足条件)(0jiaij,则我们就把方阵叫做对角阵.定义1.4如果一个nn矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是0,且主对角线是1的元素100010001我们把它称之为n级单位矩阵,记作nI,一般情况下简写为I.1.1.2矩阵的性质定义1.5设msikaA)(,snkjbB)(,那么矩阵mnijcC)(,其中skkjiksjisjijijiijbababababac1332211(1-1)我们将其称之为A与B的乘积,记为ABC.注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位相同定义1.6由方阵A中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵A的行列式,记作A或Adet.定