01-有限元分析的基本原理

有限元原理与结构通用有限元软件应用福州大学土木工程学院陈力波2014年2月课程目标•学习什么是有限元方法，了解有限元方法的基本思想和流程•学习有限元分析原理，结合弹性力学问题来介绍有限元分析的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参单元的概念等•了解有限元软件发展水平，初步学会应用通用有限元软件解决具体工程问题主要教材及参考书目•曾攀，有限元基础教程，高等教育出版社，2009•李人宪，有限元法基础，国防工业出版社，2012•王焕定，有限单元法基础及Matlab编程，高等教育出版社，2012•王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003•朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出版社，2009•王新敏，ANSYS工程结构数值分析，人民交通出版社，2007•龚曙光，ANSYS参数化编程与命令手册，机械工业出版社，2009•JacobFish,TedBelytschko,AFirstCourseinFiniteElements,Wiley,2007•S.S.Quek,G.R.Liu,FiniteElementMethod:APracticalCourse,Butterworth-Heinemann,2003•ThomasJ.R.Hughes,TheFiniteElementMethod:LinearStaticandDynamicFiniteElementAnalysis,DoverPublications,2000•K.J.Bathe,FiniteElementProcedures,Cambridge,MA:Klaus-JürgenBathe,2006•R.D.Cook,D.S.Malkus,M.E.Plesha,R.J.Witt,ConceptsandApplicationsofFiniteElementAnalysis,Wiley,4edition,2001•O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor,J.Z.Zhu,TheFiniteElementMethod:ItsBasisandFundamentals,Butterworth-Heinemann;7edition,2013教学计划及评分办法•课堂讲授引导为主，课下自学为辅•8周讲授+4周上机有限元基本原理、杆系问题、平面问题、轴对称问题、空间问题、等参数单元等ANSYS前处理、加载求解、后处理•评分标准65%期末考试+20%期末大作业+15%平时作业及考勤有限元分析的基本原理有限单元法的形成•两类典型的工程问题第一类问题可以归结为有限个已知单元体的组合。例如材料力学中的连续梁、建筑结构中的桁架和框架结构。第二类问题是针对连续介质，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。有限单元法的形成•第一类问题的研究对象称为离散系统离散系统是可解的，但是求解复杂的离散系统，要依靠计算机技术•第二类问题的研究对象称为连续系统可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件，通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解。对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法来求解有限单元法的形成为了解决这些困难，工程师和数学家开始寻找一种近似的求解方法，在这个过程中，他们从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法有限单元法的历史•1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法•1943年，Courant发表了第一篇使用三角形区域多项式函数来求解扭转问题的论文•1956年，波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式有限单元法的历史•1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的书•1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限单元法”(finiteelementmethod)的名称•1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著•1970年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题，1972年Oden出版了第一本关于处理非线性连续体的专著有限单元法的历史我国学者也在有限元领域做出了重要贡献•胡海昌于1954提出了广义变分原理•钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间关系•钱令希在20世纪五十年代就研究了力学分析的余能原理•冯康在20世纪六十年代就独立地、并先于西方奠定了有限元分析收敛性的理论基础通用有限元软件概述随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用1966NASTRANMacNeal-SchwendlerCorp.,USAMARCMARCAnal.Corp.,USA1970ANSYSSwansonAnal.Syst.,USASAPNISEE,UCBerkeley,USA1975ADINAADINAR&D,Inc.,USA1979ABAQUSHibbit,Karlsson&Sorensen,Inc.,USA1984ALGORAlgorInc.,USA有限元法的基本思想•有限单元法(finiteelementmethod)是求解数学物理问题(复杂微分方程)的一种数值计算近似方法。它发源于固体力学，以后迅速扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等其它物理领域。•有限元法的基本思想可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。有限元分析的目的•固体力学领域：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)•在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度、刚度等方面的评判，以便对不合理的设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案，再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后的力学评判和校核有限元法的基本原理•有限元方法基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数•两种典型的函数逼近思想经典瑞利-里兹思想：基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)有限元方法的思想：基于子域的分段函数组合(如采用分段线性函数的连接)有限元分析的目的和作用有限元法的基本原理•基于分段的函数描述的优点1.可以降低原函数复杂性，方便描述求解2.可以人工选取简单的分段函数形式3.可以将原始微分求解变为线性代数方程•基于分段的函数描述的缺点1.所采用简单函数的描述能力和效率较低2.由于简单函数的描述能力较低，必然将使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量一维阶梯杆结构问题的求解•一维问题是最简单的分析对象，以一阶梯杆结构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观地引入有限元分析基本思路•图示阶梯杆结构，已知相应的弹性模量和结构尺寸，用材料力学方法求解该问题一维阶梯杆结构问题的求解一维阶梯杆结构问题的求解•基于节点位移的求解方法一维阶梯杆结构问题的求解•基于节点位移的求解方法平衡关系矩阵形式一维阶梯杆结构问题的求解•基于位移求解的通用形式平衡关系分解一维阶梯杆结构问题的求解•基于位移求解的通用形式左端的第1项实质为左端的第2项实质为一维阶梯杆结构问题的求解•材料力学求解求解的基本力学变量是力(或应力)静定问题，可直接求出静不定问题，则需要变形协调方程(一定技巧)•采用位移作为求解的基本变量原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加单元：基于节点位移写出该“构件”的内力表达关系，“构件”在几何形状上、节点描述上都有一定普遍性和标准性一维阶梯杆结构问题的求解•杆单元的标准形式单元节点位移单元节点外力一维阶梯杆结构问题的求解•杆单元的标准形式单元节点内力为它将与单元的节点外力相平衡，方程可以写成一维阶梯杆结构问题的求解•杆单元的标准形式进一步表达成单元内力与外力的平衡方程，即单元刚度方程其中𝐊𝐞称为单元的刚度矩阵𝐾11𝐾12𝐾21𝐾22称为刚度矩阵中的刚度系数有限元分析的基本流程•例1D三连杆结构的有限元分析过程采用杆单元的方法，求解图示结构的所有力学参量。相关的材料参量和尺寸如下有限元分析的基本流程求解思路：基于单元的分析方法•首先将原整体结构按几何形状的变化性质划分节点并进行编号•然后将其分解为一个个小的构件(即单元)，基于节点位移，建立每一个单元的节点平衡关系(叫做单元刚度方程)•下一步就是将各个单元进行组合和集成，以得到该结构的整体平衡方程(也叫做整体刚度方程)有限元分析的基本流程•接下来按实际情况对方程中一些节点位移和节点力给定相应的值(叫做处理边界条件)，就可以求解出所有的节点位移和支反力•最后在得到所有的节点位移后，就可计算每一个单元的其它力学参量(如应变、应力)有限元分析的基本流程下面给出该问题的有限元分析过程(1)节点编号和单元划分在杆件连接处划分出节点，对于该结构就自动给出三个单元，其节点及单元编号如下图，同时标出每一个节点的位移和外力，这里位移和力的方向都以𝑥轴正方向来标注有限元分析的基本流程(2)计算各单元的单元刚度方程单元①的刚度方程单元②的刚度方程单元③的刚度方程有限元分析的基本流程(3)组装各单元刚度方程由于整体结构是由各个单元按一定连接关系组合而成的，因此需要按照节点的对应位置将以上方程进行组装，以形成一个整体刚度方程实际上组装过程，就是将各个单元方程按照节点编号的位置进行集成有限元分析的基本流程节点1、2、3、4上合成节点力如下，实际上在单元组装后只需要合成后的节点力代入结构的材料参数和几何尺寸参数有限元分析的基本流程(4)处理边界条件并求解所示结构的位移边界条件为𝑢4=0，将已知的节点位移和节点力代入后得求解上述方程，有有限元分析的基本流程(5)求支反力方程组的最后一行方程，可求出支反力(6)求各个单元的其它力学量(应变、应力)有限元分析的基本流程对象离散→单元描述→整体组装→问题求解基本流程的示意图有限元分析的特点•有限元分析最大特点就是标准化和规范化这种特点使得大规模的分析和计算成为可能，当采用了现代化计算机以及所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析就变为了现实•实现标准化和规范化的载体就是单元因此有限元方法的主要任务就是研究单元，对常用的各种单元(包括1D、2D、3D问题单元)，构造出相应的单元刚度矩阵