材料力学-剪切与扭转

第十三章剪切§13-1剪切的概念§13-2剪切和挤压的实用计算§13-3切应力互等定理和剪切胡克定理剪应力的产生连接件的剪切一、连接件的受力特点和变形特点：1、连接件在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，却起着传递载荷的作用。特点：可传递一般力，可拆卸。PP螺栓PP铆钉特点：可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处用它连接。无间隙m轴键齿轮特点：传递扭矩。m2、受力特点和变形特点：nn（合力）（合力）PP以铆钉为例：①受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相距很近（差一个几何平面）的平行力系作用。②变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。nn（合力）（合力）PP③剪切面：构件将发生相互的错动面，如n–n。④剪切面上的内力：内力—剪力FS，其作用线与剪切面平行。PnnFS剪切面113、连接处破坏的形式（1）剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断，如沿1-1面剪断。nnPP（2）挤压破坏铆钉和钢板在相互接触面上因挤压而使接触的局部区域内产生显著塑性变形，或发生破坏。如ab，cd接触面。（3）拉伸破坏钢板因铆钉连接，在铆钉孔处截面受到削弱，应力增大，易在连接处被拉断。abcd二、剪切的实用计算实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。实用计算假设：假设切应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切面上的平均应力。1、剪切面--A：错动面。剪力—FS：剪切面上的内力。SFA2、名义切应力--：3、剪切强度条件（准则）：SFAnjx:其中nn（合力）（合力）PPPnnFS剪切面工作应力不得超过材料的许用应力。三、挤压的实用计算1、挤压力―Fbs：接触面上的合力。挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力：在接触面上的压力，记Fbs。假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。2、挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积。bsbsbsbsFA3、挤压强度条件（准则）：工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。挤压面积bsAdt1[][]bsbs、校核强度：；2[][]sbsQbsbsFFAA、设计尺寸：；3[][]sQbsbsbsFAFA、设计外载：；四、应用切应力互等定律在物体上取一微小六面体，称之为单元体。dxdydzx’xyy’''0)()(0yyyydzdxdzdxX''0)()(0xxxxdzdydzdyYxyzyxyxZdydzdxdxdzdyM0)()(0x’xyy’切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，切应力成对出现。大小相等方向相反，都垂直于两平面的交线。zdxdydz当单元体上同时存在切应力和正应力时，切应力互等定理是否成立？为什么？剪应变剪切胡克定律ABCDABCDFF剪切面1.剪应变直角的改变量2.剪切虎克定律ACDBcD其中G是材料的剪切弹性模量。且实验证明：当切应力不超过材料的比例极限时，剪应力与剪应变成正比。即pG单位：Mpa、Gpa.)1(2EG740100.952MPa1235sQFPAbh740107.4MPa4.512bsbsbsFPAcb[例]木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm,P=40KN，试求接头的切应力和挤压应力。解：受力分析如图∶切应力和挤压应力剪切面和剪力为∶挤压面和挤压力为：PPPPPPbachQAjyAh;QsAbhFP;bsbsAcbFP解：键的受力分析如图[例]齿轮与轴由平键（b×h×L=20×12×100）连接，它传递的扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为[]=60MPa，许用挤压应力为[jy]=100MPa，试校核键的强度。kN5707.0222dmP2hmbLmdPPh综上，键满足强度要求。MPa6.281002010573bLPAQQ剪应力和挤压应力的强度校核PPQjyjyjyjyjyhLPAPMPa3.956100105723bhLdmQ解：受力分析如图[例]一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为t=1cm，宽度b=8.5cm，许用应力为[]=160MPa；铆钉的直径d=1.6cm，许用切应力为[]=140MPa，许用挤压应力为[jy]=320MPa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）4sbsPFFbPPttdPPP112233P/4钢板的2--2和3--3面为危险面切应力和挤压应力的强度条件72211010136.8MPa3.141.6sQFPAdMPa7.15510)6.125.8(41103)2(4372dbtP711010171.9MPa4411.6bsbsbsbsFPAtdMPa4.15910)6.15.8(1110)(73dbtP综上，接头安全。ttdPPP112233P/4第十四章扭转§14-1概述§14-2外力偶矩、扭矩和扭矩图§14-3圆轴扭转时的应力与强度条件§14-4圆轴扭转时的变形与刚度条件概述轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBA工程实例D力偶矩PDm汽车前后桥之间的传动轴攻丝丝锥电动机与减速器之间的传动轴联轴器A、B之间的轴段只承受扭距。对称扳手拧紧螺帽请判断哪一杆件将发生扭转？当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（HP）n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS3扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2截面法求扭矩mmmTmTmTmx00x4扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT[例]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2m3m1m4解：①计算外力偶矩m)15.9(kN3005009.5555911nP.mm)(kN7843001509.55559232.nP.mmm)(kN3763002009.5555944.nP.mnABCDm2m3m1m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）mkN78.40,02121mTmTmxmkN569784784(,0322322.)..mmTmmTmkN37.6,0-4243mTmTx③绘制扭矩图mkN569max.TBC段为危险截面。xTnABCDm2m3m1m44.789.566.37––等直圆杆在扭转时的应力·强度条件等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面横截面变形后是否为平面？1.横截面变形后仍为平面，形状、大小、间距不变，半径保持为直线；2.轴向无伸缩；无变形，所以没有线应变，进而没有正应力。3.纵向线变形后仍为平行，横截面像刚性平面一样绕轴线转动。等直圆杆扭转实验观察：等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为任一点处的与该点到圆心的距离成正比。xdd——扭转角沿长度方向变化率。切应变2.物理关系：虎克定律：代入上式得：GxGxGGddddxGdd3.静力学关系：AxGAxGATAAAddddddd22AIApd2令（极惯性矩）xGITpddpGITxdd代入物理关系式得：xGddpITOτpdApIT—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：mm4，m4。AIApd2③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。4420221032d2dD.DAIDApa.对于实心圆截面：DdOb.对于空心圆截面：)1(10)1(32)(32d2d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd④应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。pIT⑤确定最大切应力：pIT由知：当max,2dR)2(22maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1(4343D.DRIWpt圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：][max][maxtWT([]称为许用切应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：][maxmaxtWT][maxTWt][maxtWT）（空：实：43311616DDWt[例]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力[]=30MPa,试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503...Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核切应力强度③此轴满足强度要求。D3=135D2=75D1=70ABCmmx][MPa23160701055133max..WTt等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件一、扭转时的变形由公式pGITxdd知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为值不变）若(dd0TGITlxGITplp二、单位长度扭转角：(rad/m)ddpGITx/m)(180ddpGITx或三、刚度条件或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。[]称为许用单位长度扭转角。(rad/m)maxmaxpGIT/m)(180maxmaxpGIT刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：max][maxGTIp][maxpGIT有时，还可依据此条件进行选材。[例]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切应