【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习-第二章-第七节-函数的图象突破热点题型-文

1第七节函数的图象考点一作函数的图象[例1]作出下列函数的图象：(1)y＝12|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝2x－1x－1；(4)y＝x2－2|x|－1.[自主解答](1)作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，加上y＝12x的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图实线部分．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图．(3)∵y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函数图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0且函数2为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．【方法规律】函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x＋2x＋3；(4)y＝|log2x－1|.解：(1)∵y＝|lgx|＝lgx，x≥1，－lgx，0x1.∴函数y＝|lgx|的图象如图(1)．图(1)图(2)(2)将函数y＝2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y＝2x＋2的图象，如图(2)．(3)∵y＝x＋2x＋3＝1－1x＋3，可见原函数图象可由y＝－1x图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图(3)．图(3)3图(4)(4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移1个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图(4)．高频考点考点二识图与辨图1．高考对函数图象的考查主要有识图和用图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中．2．高考对识图问题的考查主要有以下几个命题角度：(1)借助实际情景探究函数图象；(2)已知解析式确定函数图象；(3)已知函数解析式(或图象)确定相关函数的图象；(4)借助动点探究函数图象．[例2](1)(2013·湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()(2)(2013·山东高考)函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()ABCD4(3)(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()ABCD(4)(2013·江西高考)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为()ABCD[自主解答](1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.(2)先判断函数y＝xcosx＋sinx是奇函数，所以排除B；再判断其零点，令y＝xcosx＋sinx＝0，得tanx＝－x，画图知其在(0，π)上有且仅有一个零点，故排除A、C.5(3)法一：由y＝f(x)的图象知f(x)＝xx，x当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝x，2－xx，故y＝－f(2－x)＝－x，x－x故其对应的图象应为B.法二：当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B.(4)如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cosx2＝|OA||OM|＝1－t，∴y＝cosx＝2cos2x2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的图象应为B.[答案](1)C(2)D(3)B(4)B识图问题的常见类型及解题策略(1)由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．(2)由解析式确定函数图象．此类问题往往化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(3)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互关系．(4)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断6函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．2．(2014·宁波模拟)若loga20(a0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是()解析：选B由loga20，得0a1，故函数f(x)＝loga(x＋1)为减函数，故排除选项A、D.由图象平移可知f(x)＝loga(x＋1)的图象可由y＝logax的图象向左平移1个单位得到，故选B.3．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是()7解析：选A观察图象可知，y＝f(x)有两个零点x1＝－π2，x2＝π2，且y＝g(x)在x＝0时，函数值不存在，所以函数y＝f(x)·g(x)在x＝0时，函数值也不存在，故可以排除选项C，D；当x∈0，π2时，y＝f(x)·g(x)的函数值为负，故排除选项B.4．已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分)，若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是()解析：选C观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大，从这个角度讲，四个图象都适合．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是由上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不适合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．考点三函数图象的应用[例3]已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)0的解集；8(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．[自主解答](1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝xx－4x≥4，－xx－4x4.∴函数f(x)的图象如图：由图象知f(x)有两个零点．(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f(x)0的解集为{x|0x4或x4}．(5)由图象可知若y＝f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则0m4，故集合M＝{m|0m4}．【互动探究】保持本例条件不变，求函数f(x)在[1,5]上的值域．解：f(1)＝3，f(5)＝5，借助函数图象可知，函数f(x)在[1,5]上的值域为[0,5]．【方法规律】1．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．1．(2013·湖南高考)函数f(x)＝2lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为()A．3B．2C．1D．09解析：选B在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2lnx与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．∵f(2)＝2ln2g(2)＝1，∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.2．已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．解析：先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，利用数形结合求解．根据绝对值的意义，y＝|x2－1|x－1＝x＋x1或x－，－x－－1≤x在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0k1或1k4时有两个交点．答案：(0,1)∪(1,4)—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个注意点——图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．个区别——函数图象的对称问题(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数图象的对称关系．个关键点——正确作出函数图象的三个关键点(1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、10幂函数、形如y＝x＋1x的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.