模糊层次分析法

第5讲（3）模糊层次分析法FuzzyAnalyticalHierarchyProcessContentsFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介模糊数简介论域：用U表示，它指将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所讨论的对象的全体成为论域。总假定它是非空的。模糊集：明确集合A：元素x不是属于A就是不属于A。模糊集合A：在论域U内，对任意x∈U，x常以某个程度μ(μ∈[0,1])属于A，而非x∈A或x不属于A。全体模糊集用F(U)表示。AxAxxA,0,1)(模糊数简介隶属函数：设论域U，如果存在μA(x):U→[0,1]则称μA（x）为x∈A的隶属度,从而一般称μA(x)为A的隶属函数论域U中元素x与A的关系由隶属度μA(x)给出，不是简单的二值属于或不属于而是多大程度上属于；U上所有模糊子集的集合称为模糊幂集，记作F(U)模糊数简介220,1.601.602,1.601.700.2()1.8012,1.701.800.21,1.80Axxxuxxxx例1：用A表示“高个子男生”的集，并认为身高1.80m以上的男生必为高个，而身高1.6m以下的男生都不是高个。用x表示某男生的身高，并给出μ的隶属函数如下:取x分别等于1.65m，1.70m，1.75m，则uA(x)分别等于0.125,0.50,0.875，即身高1.65m，1.70m，1.75m的男生，分别以0.125,0.50,0.875的程度属于高个子男生。A是“高个子男生”对应的模糊集（Fuzzy集）。1μM(x)x0ContentsFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介FAHP的基本概念为什么引入FAHP（即FuzzyAHP）？在一般问题的层次分析中，构造两两比较判断矩阵时通常没有考虑人的判断模糊性。有些问题中进行专家咨询时，专家们往往会给出一些模糊量（例如三值判断：最低可能值、最可能值、最高可能值）所以引入模糊数改进AHPFAHP的基本概念上面已经说过任意一个Fuzzy集，对应着一个隶属函数。但怎样确定一个Fuzzy集的隶属函数是一个尚未得到解决的问题。通常模仿概率论中的分布函数作为隶属函数，叫做Fuzzy分布函数：正态分布型；梯形分布；K次抛物线分布；Cauchy型分布；S型分布等等。这些函数论域为实数，带有参数，值域为【0，1】.2.梯形分布函数：其中a,b,c,d是参数，且abcd隶属函数是梯形表面的边界方程。当b=c时，变为三角分布函数。3.其他不再列出，后面重点介绍三角模糊函数0(;,,,)10Axaxaaxbbaxabcdbxddxcxddcdxu0μA(u)u1abdc几种常见隶属函数的简介1.正态分布型：其中a,б是参数，且22(2)(;,)AxxaueContentsFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介三角模糊函数荷兰学者F.J.M.VanLaarhoven和W.Pedrycz提出了用三角Fuzzy数表示Fuzzy比较判断的方法。定义：设论域R上的Fuzzy数M，如果M的隶属度函数μM：R[0,1]表示为式中l≤m≤u,l和u表示M的下界和上界值。m为M的隶属度为1的中值。一般三角Fuzzy数M表示为（l,m,u).M1[,]1[,]()0(,][,)lxxlmmxmluxxmuxmumuxlu三角模糊函数三角Fuzzy数的几何解释：三角Fuzzy数M表示为（l,m,u)其中x=m时，x完全属于M，l和u分别下界和上界。在l,u以外的完全不属于模糊数M。例子：用(4，5，6)表示i方案比j方案明显重要这一Fuzzy判断(注意：不是传统AHP中用5来表示）。当隶属度为1时，这一判断标度为5；隶属度为x-4时，判断标度为x(x∈[4,5]);隶属度为6-x时，标度为x(x∈[5,6]).μM(x)x10lmu两个三角模糊数M1和M2的运算方法：1(1,1,1);2(2,2,2)12(12,12,12)12(12.12,12)1111(,,)MlmuMlmuMMllmmuuMMllmmuuMumlA和B的相对权重定义说明M1同等重要A，B对目标具有同样的贡献M3稍微重要A比B稍微重要M5重要A比B重要M7明显重要A比B明显重要M9非常重要A比B非常重要M2，M4，M6，M8中间重要性中间状态对应的标度值在指标评价的两两比较矩阵中，为了考虑人的模糊性在内，三角模糊数M1,M3,M5,M7,M9被用来代表传统的1，3，5，7，9.而M2,M4,M6,M8是中间值。如下表:ContentsFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介一、构造模糊判断矩阵构造模糊判断矩阵：Step1：调研对象组利用模糊数（M1-M9）来表达他们的偏好。这里假设有三个调研成员。他们对一组比较（比如C1与C2的比较）各自得到一个模糊数，分别为（l1,m1,u1),(l2,m2,u2),(l3,m3,u3)Step2：将三个模糊数整合成一个，重复以上步骤，直到所有的比较变成一个模糊数。123123123(,,)333lllmmmuuu矩阵值全是模糊数例1：例：假设在这个供应商选择的模型中（图左），主要考虑四个因素：成本，质量，服务，企业质量。三个专家对他们的模糊评价矩阵如下（图右）:C1与C2的三个比较模糊值，可以通过以下方式整合为为一个模糊值：C1比C2值为：（0.39，0.67，1.00）。对其他比值可做相似的处理，得到模糊矩阵：1/31/31/2)/30.3889(1/21/21/1)/30.6667(1/11/11/1)/31（二、计算各个指标的综合权重Step3：第K层元素i的综合模糊值（初始权重）。计算方式如下：拿FCM1举例：c1的初始权重计算如下。iDki111(),1,2,...,Dnnnkkkijijjijinaa441141444c1111(1,1,1)(0.39,0.67,1.00)(1,1,1)(0.39,0.67,1.00)(2.33,3.33,4.33)(4.17,5.83,7.33)(0.1509,0.2897,0.5083)ijijijjijijjijaaaaD…+（1，1，1）=（14.428，20.139，27.611）同理：可以计算出C2,C3,C4的初始权重如下Step4：去模糊化以及求出c1至C4的最终权重定义一：M1（l1,m1,u1)和M2（l2,m2,u2)是三角模糊数。M1≥M2的可能度用三角模糊函数定义为234(0.169,0.331,0.670)(0.1368,0.2731,0.5314)(0.0658,0.1062,0.2041)cccDDD121212()[min((),())]11221()1212(11)(22)0supMMxyvxymmluvdmmulmumlotherwiseuuMMMM，将模糊值变为一般的值三角模糊函数μM(x)x10l1m1u1l2m2u2M1M2121212()[min((),())]11221()1212(11)(22)0supMMxyvxymmluvdmmulmumlotherwiseuuMMMM，(0.151,0.290,0.508)1(0.169,0.331,0.670)2(0.137,0.273,0.531)3(0.066,0.106,0.204)4DcDcDcDc121314(0.16900.5083)()0.8913,(0.28970.5083)(0.33100.1690)()1,()1,ccccccVVVDDDDDD313234(0.1510.531)()0.9583,(0.2730.531)(0.2900.151)(0.1690.531)()0.8622,(0.2730.531)(0.3310.169)()1,ccccccVVVDDDDDD定义二：一个模糊数大于其他K个模糊数的可能度，被定义为：拿上个例子来说明：对去模糊化：12kV,,)min(),1,2,kiViMMMMMM（………1234ccccDDDD，，，1234213431244123(1)min(,,)min(0.8913,1,1)0.8913,(2)min(,,)min(1,1,1)1,(3)min(,,)min(0.9583,0.8622,1)0.8622,(4)min(,,)min(0.2247,0.1349,0.2872ccccccccccccccccdCVdCVdCVdCVDDDDDDDDDDDDDDDD)0.1349,将以上权重值标准化，得到各指标的最终权重：注：将（a,b,c,d）标准化是指将其化为1234,,,)(0.3086,0.3462,0.2985,0.0467)cccc（(,,,)abcdabcdabcdabcdabcdStep5:确定其他层次的各指标权重利用相同的方法，得到下一层次的指标Ai权重wi。则指标Ai的总权重:TWi=wcm*wi(m=1,2,3,4;i=1,2…12)经计算得到下层指标的总权重如下：AmA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12TWm总结：Step1：3个调研对象利用模糊数来表达偏好，如C1与C2的比较，各自得到一个模糊数，分别为：（l1,m1,u1),(l2,m2,u2),(l3,m3,u3)Step2：将3个模糊数整合成一个；Step3：第K层元素i的综合模糊值（初始权重）；Step4：去模糊化以及求出最终权重；i111(),1,2,...,DnnnkkkijijjijinaaStep5:确定其他层次的各指标权重FAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介实例一：供应商的选择供应商选择是一个多目标决策问题，选择供应商的评价指标如下图。假设有三个供应商B1，B2，B3对定量指标的处理：只需标准化统计值来获得权重。如，B1，B2，B3三个供应商的产品合格率分别为90%，94%，98%。则标准化后得到权重如下。B1的指标A4的权重V4=0.9/(0.9+0.94+0.98)B1B2B3QualifiedrateA40.90.940.98WeightV40.3190.3330.348对定性指标的处理：专家评估来得到模糊判断矩阵。用FAHP中的三角模糊数来表示指标权重。如，确定B1，B2，B3的企业信用的指标权重。Step1.专家评估模糊判断供应商B1B2B3B1（1，1，1）（1，2，3）（2，3，4）（1，1，2）（1，1，2）（1，1，2）（1，2，3）B2（1/3，1/2，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/1）（1，1，1，）（1，1，2）（1，2，3）（1，1，2）B3（1/2，1/1，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1，1，1，）Step2:构造其他指标的两两比较矩阵。略Step3：计算“企业信用”的模糊权重DviEnterprisecreditFuzzyweightDviB1(0.25,0.45,0.84)B2(0.17,0.29,0.54)B3(0.14,0.26,0.40)i111(),1,2,...,Dnnnkkkijijjijin