1993考研数一真题及解析

Borntowin11993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)函数11()(2)(0)xFxdtxt的单调减少区间为______________.(2)由曲线223212,0xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为______________.(3)设函数2()()fxxxx的傅里叶级数展开式为01(cossin)2nnnaanxbnx,则其中系数3b的值为______________.(4)设数量场222ln,uxyz则(grad)divu______________.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1n,则线性方程组0Ax的通解为______________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设sin20()sin()xfxtdt,34()gxxx则当0x时,()fx是()gx的()(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小(2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为()(A)402cos2d(B)404cos2d(C)402cos2d(D)2401(cos2)2d(3)设有直线1158:121xyzL与26:23xyLyz,则1L与2L的夹角为()(A)6(B)4(C)3(D)2Borntowin2(4)设曲线积分[()]sin()cosxLfxeydxfxydy与路径无关,其中()fx具有一阶连续导数,且(0)0f,则()fx等于()(A)2xxee(B)2xxee(C)12xxee(D)12xxee(5)已知12324369Qt,P为三阶非零矩阵,且满足0PQ,则(A)6t时,P的秩必为1(B)6t时,P的秩必为2(C)6t时,P的秩必为1(D)6t时,P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)求21lim(sincos)xxxx.(2)求1xxxedxe.(3)求微分方程22xyxyy,满足初始条件1|1xy的特解.四、(本题满分6分)计算22xzdydzyzdzdxzdxdy,其中是由曲面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2nnnnn的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)设在[0,)上函数()fx有连续导数,且()0,(0)0,fxkf证明()fx在(0,+)内有且仅有一个零点.(2)设bae,证明baab.Borntowin3七、(本题满分8分)已知二次型22212312323(,,)2332(0)fxxxxxxaxxa,通过正交变换化成标准形22212325fyyy,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、(本题满分6分)设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中nm,E是n阶单位矩阵,若ABE,证明B的列向量组线性无关.九、(本题满分6分)设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_______.(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2YX在(0,4)内的概率分布密度()Yfy_______.十一、(本题满分6分)设随机变量X的概率分布密度为||1()2xfxe,x.(1)求X的数学期望()EX和方差()DX.(2)求X与||X的协方差,并问X与||X是否不相关？(3)问X与||X是否相互独立？为什么？Borntowin41993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】104x【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.将函数11()(2),xFxdtt两边对x求导,得1()2Fxx.若函数()Fx严格单调减少,则1()20Fxx,即12x.所以函数()Fx单调减少区间为104x.【相关知识点】函数的单调性：设函数()yfx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导.(1)如果在(,)ab内()0fx,那么函数()yfx在[,]ab上单调增加；(2)如果在(,)ab内()0fx,那么函数()yfx在[,]ab上单调减少.(2)【答案】10,2,35【解析】先写出旋转面S的方程：2223()212xzy.令222(,,)3()212Fxyzxzy.则S在点(,,)xyz的法向量为,,6,4,6FFFnxyzxyz,所以在点(0,3,2)处的法向量为0,43,6220,23,32n.因指向外侧,故应取正号,单位法向量为022220,23,32110,23,320,2,3||30504362nnn.(3)【答案】23Borntowin5【解析】按傅式系数的积分表达式1()sinnbfxnxdx,所以22311()sin3sin3sin3bxxxdxxxdxxxdx.因为2sin3xx为奇函数,所以2sin30xxdx；sin3xxdx为偶函数,所以30sin32sin3bxxdxxxdx0001222(cos3)cos3cos3333xxdxxxdx022sin323333x.(4)【答案】2221xyz【解析】先计算u的梯度,再计算该梯度的散度.因为graduuuuijkxyz,所以222222(grad),,uuuuuudivudivxyzxyz.数量场222lnuxyz分别对,,xyz求偏导数,得2222222221122uxxxxyzxyzxyz,由对称性知222uyyxyz,222uzzxyz,将,,uuuxyz分别对,,xyz求偏导,得2222222222222222()2()()uxyzxxyzxxxyzxyz,Borntowin6222222222()uzxyyxyz,222222222()uxyzzxyz,因此,2222222221(grad)uuudivuxyzxyz.(5)【答案】(1,1,,1)Tk【解析】因为()1rAn,由()1nrA知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax的通解形式为k.下面根据已知条件“A的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax的一个非零解,它就是0Ax的基础解系.各行元素的和均为0,即111212122212000nnnnnnaaaaaaaaa,而齐次方程组0Ax为111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax.两者比较,可知121nxxx是0Ax的解.所以应填(1,1,,1)Tk.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】0()lim()xfxgx为“00”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,有sin222034232300000sin()()sin(sin)cossin(sin)limlimlimlimlimcos()3434xxxxxxtdtfxxxxxgxxxxxxx洛2230sin(sin)lim34xxxx.因为当0x,sin0,x所以222sin(sin)sinxxx,所以Borntowin7222323000sin(sin)11limlimlim3434343xxxxxxxxxx,所以()fx与()gx是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()xx为无穷小且存在极限()lim()xlx,(1)若0,l称(),()xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2)若1,l称(),()xx在该极限过程中为等价无穷小,记为()()xx；(3)若0,l称在该极限过程中()x是()x的高阶无穷小,记为()()xox.若()lim()xx不存在(不为),称(),()xx不可比较.(2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x轴、y轴对称,(如草图)只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程较为简单：2cos2.显然,在第一象限部分的变化范围是[0,]4.再由对称性得2441001442cos22SSdd,应选(A).(3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L与2L的方向向量分别是12(1,2,1),110(1,1,2)021ijkll,1L与2L的夹角的余弦为Borntowin8121212||31cos|cos(,)|2||||66llllll,所以3,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关((())sin)(()cos)xfxeyfxyyx,即(())cos()cosxfxeyfxy,化简得()()xfxfxe,即2()xxefxe,解之得21()2xxefxeC,所以21()()2xxfxeeC.由(0)0f得12C,因此1()()2xxfxee,故应选(B).【相关知识点】曲线积分LPdxQdy在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是PQyx.(5)【答案】(C)【解析】若A是mn矩阵,B是ns矩阵,0AB,则()()rArBn.当6t时,矩阵的三行元素对应成比例,()1rQ,有()()3rPrQ,知()2rP,所以,()rP可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；当6t时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,()2rQ,于是从()()3rPrQ得()1rP,又因0P,有()1rP,从而()1rP必成立,所以应当选(C).三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【解析】令1tx,则当x时,0t,1021lim(sincos)lim(sin2cos)xtxtttxx,这是1型未定式,Borntowin911sin2cos1sin2cos100lim(sin2cos)lim(1sin2cos1)tttttttttttt,而1sin2cos10lim(1sin2cos1)ttttt是两个重要极限之一,即1sin2cos10lim(1sin2cos1)ttttte.所以01sin2cos1sin2cos1lim