数学培优竞赛新方法(九年级)-第27讲-抛物线与直线形(2)--由动点生成面积问题

第27讲抛物线与直线型（3）——由动点生成面积问题科学家就是为了解决重大的科学问题来到世上，绝不是为了受到别人的提拔和奖励才做研究的，从中学开始，我就自己找困难的几何问题，寻找自己的数学之路。——丘成桐知识纵横面积是平面几何中一个重要的概念，关联这平面图形中的重要元素与角。由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式。解这类问题常用到以下与面积相关的知识：（1）图形的割补；（2）等积变形；（3）等比变化。例题求解【例1】如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（昆明市中考题）思路点拨对于（3），抛物线的对称轴是直线1x，当点C位于的对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长为最小，为此需求出直线AB的解析式；对于（4）过点p作y轴的平行线交AB解析式；对于（4），过点p作y轴的平行线交AB于D，则))((21ABPDPBDPADPABxxyySSS，代入展开整理得关于x的二次函数。【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数2xy的图象记为抛物线1l．（1）平移抛物线1l，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线2l，如图②，求抛物线2l的函数表达式；（2）设抛物线2l的顶点为C，K为y轴上一点．若ABCABKSS，求点k的坐标；（威海市中考题）思路点拨（1）设k点坐标为),0(h，通过图形的分割计算，建立h的方程；（2）K点必在平行于AB的直线上，从等积变形入手。【例3】如图，已知点A（m,6)、B(m,1)为两动点，其中0＜m＜3，连接OA、OB，OA⊥OB。（1）求证：mn=－6；（2）当6AOBS时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；(3)在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。（潍坊中考题）【例4】如图，已知抛物线cbxaxy2经过点A（2，3），B（6，1），C（0，-2）．（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？（2011年包头市中考题）分析由点的个数的探讨联想到“根的判别式”，解题的关键是寻找n、S的关系，并建立关于t的一元二次方程。(第1题）学历训练1．如图，抛物线bxaxy2）0(a与双曲线xky相交于点A，B．已知点B的坐标为（-2，-2），点A在第一象限内，且AOxtan=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．（2011年日照市中考题）2．如图①，已知直线xy21与抛物线6412xy交于A、B两点，（1）求A，B两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．（长沙市中考题）3.如图，抛物线cbxaxy2经过点A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，对称轴与抛物线相较于点P、与直线BC相较于M，连接PB。（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q，使QMB与PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RPM与RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由。（大连市中考题）4.在平面直角坐标系中，已知抛物线cbxaxy2与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为E，顶点为E。（1）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC，求此时直线BC的解析式；（3）将（1）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足AOCBCESS2，第3题且顶点E恰好落在直线34xy上，求此时抛物线的解析式．（天津市中考题）