分组分解法因式分解

（一）复习把下列多项式因式分解(1)2x2+10x(2)a(m+n)+b(m+n)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x)(4)(x+y)2-2(x+y)（二）新课讲解1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y(2)p-q+k(p-q)(3)5m(a+b)-a-b(4)2m-2n-4x(m-n)2．应用举例例1．把a2-ab+ac-bc分解因式分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b(2)a2+2ab-ac-2bc(3)a-ax-b+bx(4)xy-y2-yz+xz(5)2x3+x2-6x-3(6)2ax+6bx+5ay+15by(7)mn+m-n-1(8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx(10)x2-2bx-ax+2ab(11)ma2+na2-mb2-nb2四、课外作业把下列各式分解因式1．a(m＋n)－b(m＋n)⒉xy(a－b)＋x(a－b)3．n(x＋y)＋x＋y⒋a－b－q(a－b)5．p(m－n)－m＋n⒍2a－4b－m(a－2b)7．a2＋ac－ab－bc⒏3a－6b－ax＋2bx9．2x3－x2＋6x－3⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by⒒xy＋x－y－1⒓ax2＋bx2－ay2－by2⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3⒕3m－3y－ma＋ay⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy分组分解法（第二教时）（一）复习1．提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？2．用分组分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by(2)mx-my+nx-ny(3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2(5)5am-a+b-5bm(6)x3-x2-4x+4（二）新课讲解1．例题分析例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by加法交换律=(3ax+4ay)+(3bx+4by)分组=a(3x+4y)+b(3x+4y)提公因式=(3x+4y)(a+b)再提公因式练习:用分组分解法因式分解：(1)ac+2b+2a+bc(2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx(4)ab-4xy+4ay-bx例4：把m2+5n-mn-5m分解因式分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。解：m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)练习：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x(2)5ax2-b2-b2x+5ax(3)x2+yz-xy-xz(4)4x2+3z-3xz-4x(5)5am+b-a-5bm(6)x2-yz+xy-xz四、课外作业把下列各式分解因式1．mn＋m－n－12．3mx＋4ny＋4my＋3nx3．m3－m2＋m－14．m3＋m2－m－15．a2－2b＋ab－2a6．ax＋by＋ay＋bx7．xy－z＋y－xz8．a2x＋by－ay－abx9．mx3－mx2－mx＋m10．a2b－a2c＋a3－abc分组分解法（第三教时）（一）复习1．什么是分组分解法？2．把下列各式分解因式(1)ac-ad+bc-bd(2)ay2-ax+bx-by2(3)5ax+6by+10ay+3bx(4)5x2+7a-7ax-5x3.填空(1)a2-b2=__________(2)a2+2ab+b2=__________(3)a2-2ab+b2=___________（二）新课讲解1．例题与练习例5：把x2-y2+ax+ay分解因式分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。由于第一、二两项满足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四两项有公因式a,而ax+ay=a(x+y).这时可以看出(x+y)(x-y)与a(x+y)有公因式(x+y)。解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay）=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)练习：把下列各式分解因式(1)4a2-b2+6a-3b(2)9m2-6m+2n-n2(3)x2y2-4+xy2-2y(4)a2b2-c2+abd+cd例6：把a2-2ab+b2-c2分解因式分析：用刚才的方法不能见效。我们发现a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此时，原式就变为(a-b)2-c2，再用平方差公式。解：a2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2分组=(a-b)2-c2运用完全平方公式=[(a-b)+c][(a-b)-c]运用平方差公式=(a-b+c)(a-b-c)练习：把下列各式分解因式(1)4a2+4ab+b2-1(2)c2-a2-2ab-b2(3)x2-4y2+12yz-9z2(4)a2b2-c2+2ab+1四、课外作业把下列各式分解因式⒈4x2－y2－4x＋2y⒉b2－a2＋ax＋bx⒊m－2n＋m2－4n2⒋p＋3q－9q2＋p2⒌s2－t2＋3s－3t⒍x2－2x＋2y－y2⒎4a2－b2－2a－b⒏9a2－6a＋2b－b2⒐x2－2x＋1－y2⒑m2＋2mn＋n2－p2⒒4x2－4xy＋y2－16z2⒓a2－b2－2bc－c2⒔x2－4y2＋4y－1⒕x2－y2－z2－2yz分组分解法（第四教时）（一）复习把下列各式分解因式(1)a2-2a+2b-b2(2)4m2-9n2+3n-2m(3)m2-2mn+n2-4c2(4)a2-b2+2bc-c2提问：什么样的多项式可以用分组后运用公式法？（二）新课讲解1．例题与练习例7把下列各式分解因式(1)(x2-4y2)+(4y-1)(2)(x2+y2-z2)2-4x2y2分析：在第（1）题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因此无法分解。如果将括号去掉，再重新分组，得x2-（4y2-4y+1),此题可用分组后直接用公式法分解因式。在第（2）题中，先用平方差公式分解，再用分组分解法。注意：必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。解：(1)(x2-4y2)+(4y-1)=x2-4y2+4y-1=x2-（4y2-4y+1)=x2–(2y-1)2=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]=(x+2y-1)(x-2y+1)(2)(x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2=[(x2+y2-z2)+2xy][(x2+y2-z2)-2xy]=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)=[(x2+y2+2xy)-z2][(x2+y2-2xy)-z2]=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)练习：把下列各式分解因式(1)(2ab-a2)+(c2-b2)(2)(ax+by)2+(bx-ay)2(3)4a2b2-(a2+b2-c2)2例8：把下列多项式分解因式(1)x3+x2y-xy2-y3(2)a3-ab2+4abc-4ac2解：(1)x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3)分组=x2(x+y)-y2(x+y)分别提公因式=(x+y)(x2-y2)提公因式=(x+y)[(x+y)(x-y)]运用平方差公式=(x+y)2(x-y)相同因式写成幂的形式提问：还有其他解法吗？(2)a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2)先提公因式=a[a2-(b2-4bc+4c2)]分组=a[a2-(b-2c)2]运用完全平方公式=a[a+(b-2c)][a-(b-2c)]运用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c)整理练习：把下列各式分解因式(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2(2)x3-x2y-xy2+y3(3)x2y-y3-2xyz+yz2(4)a3+a2-a-13．作业：把下列各式分解因式(1)x3y3-x2y2-xy+1(2)(2xy-a2)+(x2+y2)(3)(x2-y2+z2)2-4x2z2四、课外作业把下列各式分解因式⒈3ax＋5ay－6bx－10by⒉a2－b2－4a－4b⒊m2－4mn＋4n2－4⒋4－x2－2xy－y2⒌ax2－ay2＋a2x－a2y⒍a3＋2a2b＋ab2－a⒎a2b2－a2－2ab－b2⒏x3－x2y＋xy2－y39.（ax－by）2＋（bx＋ay）210．（m2－4n2）＋（4n－1）11．（a2－m2－n2）2－4m2n2分组分解法（第五教时）（一）复习1.什么是分组分解法？怎样才是正确的分组？2.把下列多项式分解因式(1)x2+2x+nx+2n(2)x2-y2+2yz-z2(3)x2+px+qx+pq（二）新课讲解1.引入（1）把x2+(p+q)x+pq分解因式分析此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。这时，可以用分组分解法。x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)另外：我们知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（2）特点式子x2+(p+q)x+pq的特点为：（1）二次项的系数是1。（2）常数项是两个数之积。（3）一次项系数是常数项的两个因数之和。说明：根据上面的结果，可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。2.应用举例例：把下列各式分解因式(1)x2+3x+2(2)x2-7x+6(3)x2+x-2(4)x2-2x-15分析:（1）x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2。这是一个x2+(p+q)x+pq型式子。（2）x2-7x+6的二次项系数是1，常数项6=(-1)×(-6)，一次项系数-7=(-1)+(-6)。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。（3）x2+x-2的二次项系数是1，常数项-2=(-1)×2，一次项系数1=(-1)+2。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。（4）x2-2x-15的二次项系数是1，常数项-15=(-5)×3，一次项系数