2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案

乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！免费考研辅导视频乐考无忧官方考研交流群：3413844032010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】(B).【解析】因为2221()11xxfxxx有间断点0,1x,又因为22000(1)11lim()lim1lim1(1)(1)xxxxxfxxxxxx,其中220011lim11,lim11xxxxxx,所以0x为跳跃间断点.显然112lim()1122xfx,所以1x为连续点.而211(1)1lim()lim1(1)(1)xxxxfxxxx,所以1x为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】(A)．【解析】因12yy是0yPxy的解,故12120yyPxyy,所以1122()0yPxyypxy,而由已知1122,yPxyqxyPxyqx,所以0qx,①又由于一阶次微分方程ypxyqx是非齐的,由此可知0qx,所以0．由于12yy是非齐次微分方程yPxyqx的解,所以1212yyPxyyqx,整理得1122yPxyyPxyqx,即qxqx,由0qx可知1,②由①②求解得12,故应选(A)．乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！免费考研辅导视频乐考无忧官方考研交流群：341384403(3)【答案】(C).【解析】因为曲线2yx与曲线ln(0)yaxa相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2axx,即(0)2axx.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2yx上,当2ax时2ay；在lnyax上,2ax时,lnln222aaaya.所以ln222aaa.从而解得2ae.故答案选择(C).(4)【答案】(D).【解析】0x与1x都是瑕点.应分成22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx,用比较判别法的极限形式,对于2120ln1mnxdxx,由于121012[ln(1)]lim11mnxnmxxx.显然,当1201nm,则该反常积分收敛.当120nm,1210[ln(1)]limmxnxx存在,此时2120ln1mnxdxx实际上不是反常积分,故收敛.故不论,mn是什么正整数,2120ln1mnxdxx总收敛.对于2112ln1mnxdxx,取01,不论,mn是什么正整数,1211211[ln(1)]limlimln(1)(1)01(1)mnmxxxxxxx,所以2112ln1mnxdxx收敛,故选(D).(5)【答案】(B).乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！免费考研辅导视频乐考无忧官方考研交流群：341384403【解析】122212122221xzyzyzFFFFFyFzFzxxxxxFFxFFx,112211yzFFFzxyFFFx,1212222yFzFyFFzzzxyzxyFFF．(6)【答案】(D).【解析】222211111()nnnnijijnnninjninj22111()()nnjinnjni12220211111limlim,11()nnnnjjndyjnjnyn1011111limlim,11()nnnniindxininxn2222111111limlim()()nnnnnnijjinnjnininj221(lim)nnjnnj1(lim)nninni1120011()()11dxdyxy11200111dxdyxy.(7)【答案】(A)．【解析】由于向量组I能由向量组II线性表示,所以(I)(II)rr,即11(,,)(,,)rsrrs若向量组I线性无关,则1(,,)rrr,所以11(,,)(,,)rsrrrs,即rs,选(A).(8)【答案】(D).【解析】：设为A的特征值,由于2AAO,所以20,即(1)0,这样A的特征值乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！免费考研辅导视频乐考无忧官方考研交流群：341384403只能为-1或0.由于A为实对称矩阵,故A可相似对角化,即A,()()3rAr,因此,1110,即1110A.二、填空题(9)【答案】2123cossinxyCeCxCx.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为32220,因式分解得2222210,解得特征根为2,i,所以通解为2123cossinxyCeCxCx.(10)【答案】2yx.【解析】因为3221lim2xxxx,所以函数存在斜渐近线,又因为333222222lim2lim011xxxxxxxxx,所以斜渐近线方程为2yx.(11)【答案】21!nn.【解析】由高阶导数公式可知()ln(1)nx1(1)!(1)(1)nnnx,所以()1(1)!(1)!ln12(1)22(12)(12)nnnnnnnnxxx,即()(1)!(0)22(1)!(120)nnnnnyn.(12)【答案】21e.【解析】因为0,所以对数螺线re的极坐标弧长公式为220eed=02ed=21e.(13)【答案】3cm/s.乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！免费考研辅导视频乐考无忧官方考研交流群：341384403【解析】设(),()lxtwyt,由题意知,在0tt时刻00()12,()5xtyt,且0()2,xt0()3yt,设该对角线长为()St,则22()()()Stxtyt,所以22()()()()()()()xtxtytytStxtyt.所以00000222200()()()()12253()3()()125xtxtytytStxtyt.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()AABBEABBBA,所以11111()ABAABBAABB因为2B,所以1112BB,因此11113232ABAABB.三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()xxxtttfxxtedtxedttedt,所以2224423311()2222xxtxxtfxxedtxexexedt,令()0fx,则0,1xx.又22421()24xtxfxedtxe,则201(0)20tfedt,所以221011011(0)(0)(1)22ttftedtee是极大值.而1(1)40fe,所以(1)0f为极小值.又因为当1x时,()0fx；01x时,()0fx；10x时,()0fx；1x时,()0fx,所以()fx的单调递减区间为(,1)(0,1),()fx的单调递增区间为(1,0)(1,).(16)【解析】(I)当01x时0ln(1)xx,故ln(1)nntt,所以lnln(1)lnnntttt,乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！免费考研辅导视频乐考无忧官方考研交流群：341384403则1100lnln(1)lnnnttdtttdt1,2,n.(II)11110001lnlnln1nnnttdtttdttdtn211n,故由12010ln1nnuttdtn,根据夹逼定理得210limlim01nnnun,所以lim0nnu.(17)【解析】根据题意得,22dytdydtdxdxtdt222222222232241tdtttttdydtdxdxttdt即222261tttt,整理有2131tttt,解31151,162tttt,令yt,即1311yytt.所以11113113dtdtttyetedtCttC,1t.因为116y,所以0C,故31ytt,即31ttt,故2313312tttdtttC．又由512,所以10C,故233,(1)2tttt.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221xyab阴影部分的面积222222bbbbaSxdybydyb乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！免费考研辅导视频乐考无忧官方考研交流群：341384403令sin,ybtyb时;22bty时6t.2662211232cos2(cos2)()2234Sabtdtabtdtab所以油的质量23()34mabl.(19)【解析】由复合函数链式法则得uuuuuxxyx,uuuuuabyyy,22222222uuuuuuuxxxxxx222222,uuu2222222uuuuuuuxyyyyyy22222(),uuuabab22222222()()uuuuuuuabaabbaayy22222222,uuuabab故222224125uuuxxyy2222222(5124)(5124)12()1080,uuuaabbabab所以22512405124012()1080aabbabab,乐考无忧，为您的考研之路