《微积分一》洛必达法则ppt课件-

首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件§4.2洛必达法则一、未定式五、其他类型未定式的极限二、“”型未定式的极限00三、“”型未定式的极限四、洛必达法则失效的情况首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件一、未定式型)00(基本类型：(0)型型)(00,10型()型其它类型：0limlnnxxx(n0)2lim(sectan)xxx例如下列极限都是未定式30sinlimxxxxnxxxlnlim(n0)xxx0limxxx)11(lim2122)(limxxax30sinlimxxxxnxxxlnlim(n0)xxx0limxxx)11(lim2122)(limxxaxxxx0limxxx)11(lim2122)(limxxax0limlnnxxx(n0)2lim(sectan)xxx如果在某一过程中函数f(x)与F(x)同是无穷小量或同是无穷小量那么极限)()(limxFxf可能存在、也可能不存在通常把这种极限叫做未定式并分别简记为或00无穷大首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件2211lim231.xxxx引例00（型）1(+1)(1)=lim(3)(1)xxxxx111lim32xxx33214im123l.xxxxxx引例323221133(1)3(1)=limlim1(1)(1)xxxxxxxxxxxxxx221(3)(1)lim(1)(1)xxxxxx对于型极限有没有更简单、更一般的求解方法？?0012因式分解复杂二、“”型未定式的极限0000（型）30sinlim3.xxxx引例00（型）首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定理41(洛必达法则I)(1)0)(lim)(limxgxfaxax(2)在点a的某去心邻域内可导且g(x)0(3)Axgxfax)()(lim(或)则必有)()(limxgxfaxAxgxfax)()(lim(或)说明当定理中xa改为x时洛必达法则同样有效(L’Hospital，1661-1704，法国数学家)设函数f(x)与g(x)满足条件首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件令f(a)g(a)0于是f(x)及g(x)在点a的某邻域内连续在该邻域内应用柯西中值定理有简要证明)()(lim)()()()(lim)()(limgfagxgafxfxgxfaxaxax)()(lim)()()()(lim)()(limgfagxgafxfxgxfaxaxax)()(lim)()()()(lim)()(limgfagxgafxfxgxfaxaxax定理41(洛必达法则I)如果函数f(x)及g(x)满足(1)当xa时f(x)0g(x)0(2)在点a的某去心邻域内可导且g(x)0(3)Axgxfax)()(lim(或)则必有)()(limxgxfaxAxgxfax)()(lim(或))()(limxgxfax)()(limgfaAxgxfax)()(lim(或))()(limxgxfax)()(limgfaAxgxfax)()(lim(或)首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件解例1求216lim42xxx332143lim1xxxxxx求3321(43)=lim(1)xxxxxx22134lim321xxxx12原式解解616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030xxxxxxxxxxxxxx解616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030xxxxxxxxxxxxxx解616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030xxxxxxxxxxxxxx解616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030xxxxxxxxxxxxxx解616sinlim3cos1lim)()sin(limsinlim0203030xxxxxxxxxxxxxx201cos~2xxx当时，220112lim36xxx例4求30sinlimxxxx例2.首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件解例2求xxax1)1(lim0解axaxxxxaxaxax1)1(lim)(]1)1[(lim1)1(lim1000解axaxxxxaxaxax1)1(lim)(]1)1[(lim1)1(lim1000解axaxxxxaxaxax1)1(lim)(]1)1[(lim1)1(lim1000解axaxxxxaxaxax1)1(lim)(]1)1[(lim1)1(lim1000解22000(e1)e1elimlimlim121()xxxxxxxxxxx32322113233limlim1321xxxxxxxxxx16lim62xxx16lim6x132验型解解)1(21lim211lim)1ln(lim0020xxxxxxxxx解)1(21lim211lim)1ln(lim0020xxxxxxxxx解)1(21lim211lim)1ln(lim0020xxxxxxxxx解)1(21lim211lim)1ln(lim0020xxxxxxxxx例3.332132lim.1xxxxxx求例4.例5求20)1ln(limxxx例5.首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件320sin2ln(13i.)lmxxxxxeex例6232320023lim6limxxxxxxxxxeexeex32320022126lim6lim.321945xxxxxxxeeee2sincos3limsin3cosxxxxx解：原式=22sincos3limlimsin3cosxxxxxx23sin3lim3sinxxx存在非零因子2cos31limcosxxx()化简00()例7.例7求2tanlimtan3xxx首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例16求240sinsincoslimxxxxxx解24300sinsincossinsincoslimlimxxxxxxxxxxxxx30sincoslimxxxxx20coscossinlim3xxxxxx0sin1lim33xxx解24300sinsincossinsincoslimlimxxxxxxxxxxxxx例8.首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件解这是一个00型未定式先进行等价无穷小量代换因ex1~x(x0)故有exsinx1~xsinx(x0)因arcsinx~x(x0)故有arcsinx3~x3(x0)所以sin3320000e1sin1cossin1limlimlimlim66arcsin3xxxxxxxxxxxxxx所以sin3320000e1sin1cossin1limlimlimlim66arcsin3xxxxxxxxxxxxxx所以sin3320000e1sin1cossin1limlimlimlim66arcsin3xxxxxxxxxxxxxx所以sin3320000e1sin1cossin1limlimlimlim66arcsin3xxxxxxxxxxxxxx例18求sin30e1limarcsinxxxx例9.首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件注：1.洛必达法则是求解未定式极限的有效方法,但是要结合各种方法，以求最捷方式.1）等价无穷小替换法2）将极限存在的非零因子分离出来不参与洛必达法则的运算.3）过程中注意化简.2.只要满足条件，可多次使用洛必达法则.()0,(),(),()0fxfxgxgx若仍属型且满足定理的条件则()()()limlimlim.()()()fxfxfxgxgxgxL但每次使用前都必须检验极限类型是否为型.00首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件定理42(洛必达法则II)设函数f(x)与g(x)满足(1))(lim)(limxgxfaxax(2)在点a的某去心邻域内可导且g(x)0(3)Axgxfax)()(lim(或)则必有Axgxfxgxfaxax)()(lim)()(lim(或)说明当定理中xa改为x时洛必达法则同样有效三、“”型未定式的极限首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件解例8求xxxlncotlnlim0解xxxxxxx1)sin1(cot1limlncotlnlim200解xxxxxxx1)sin1(cot1limlncotlnlim200例10.20tanlimsinxxxx20limxxxx1首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件例9求lnlimnxxx(n0)解11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx例10求2elimxxx解2eeelimlimlim22xxxxxxxx解11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx解11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx解11ln1limlimlim0nnnxxxxxxnxnx解2eeelimlimlim22xxxxxxxx解2eeelimlimlim22xxxxxxxx解2eeelimlimlim22xxxxxxxx解2eeelimlimlim22xxxxxxxx例11.例12.结论：,lnnxxxxe时,ln,,xnxxex当时都是无穷大量，但是它们的阶数不相同，即有：首页上一页下一页结束《微积分》(第三版)教学课件sinlimsinxxxxx1coslim1cosxxx极限不存在limxxxxxeeeelimxxxxxeeeelimxxxxxeeee出现循环四、洛必达法则失效的情况注：使用洛必达法则时,若不存在，也不为，这不能说明原极限不存在，此时洛必达法则“失效”，应改用其它方法计算.xgxfxx