2018年秋经济数学基础形考任务四网上作业参考答案

经济数学基础形考任务四网上作业参考答案（2018年秋季）一、计算题（每题6分，共60分）（如果以附件形式提交，请在在线输入框中，输入“见附件”）题目11．设，求．2．已知，求．3．计算不定积分．4．计算不定积分．5．计算定积分．6．计算定积分．7．设，求．8．设矩阵，，求解矩阵方程．9．求齐次线性方程组的一般解．10．求为何值时，线性方程组参考答案：1．y’=(-𝑥2)’𝑒−𝑥2+(2x)’(-sin(2x))=-2x𝑒−𝑥2-2sin(2x)2.d(𝑥2)+d(𝑦2)-d(xy)+d(3x)=02xdx+2ydy-ydx-xdy+3dx=0(2x-y+3)dx+(2y-x)dy=0dy=2𝑥−𝑦+3𝑥−2𝑦dx3.∫𝑥√2+𝑥2𝑑𝑥=12∫√2+𝑥2𝑑(𝑥2+2)令u=𝑥2+2,12∫√2+𝑥2𝑑(𝑥2+2)=12∫√𝑢𝑑𝑢=12∗23𝑢32+C=13(2+𝑥2)32+C4.解法一：令u=𝑥2,∫𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥2)𝑑𝑥=∫2𝑢∗sin⁡(𝑢)𝑑(2𝑢)=4∫𝑢∗sin(𝑢)𝑑𝑢=−4∫𝑢𝑑(cos⁡(𝑢))=−4(u∗cos(u)−∫cos⁡(𝑢)𝑑𝑢)=−4u∗cos(u)+4sin(u)+C=−2xcos(𝑥2)+4sin(𝑥2)+C解法二：求导列积分列Xsin𝑥21−2cos𝑥20−4sin𝑥2∫𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥2)𝑑𝑥=−2xcos(𝑥2)+4sin(𝑥2)+C5.∫𝑒1𝑥𝑥2𝑑𝑥21=−∫𝑒1𝑥𝑑(1𝑥)21令u=1𝑥,−∫𝑒1𝑥𝑑(1𝑥)21=−∫𝑒𝑢𝑑𝑢=−(𝑒12−𝑒)=𝑒−√𝑒1216.解法一：∫𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥𝑒1=12∫𝑙𝑛𝑥𝑑(𝑥2)𝑒1=12((ln(𝑥)𝑥2)|𝑒1−∫𝑥2𝑑(𝑙𝑛𝑥)𝑒1)=12((ln(𝑥)𝑥2)|𝑒1−∫𝑥𝑑(𝑥)𝑒1)=12((ln(𝑥)𝑥2)|𝑒1−12𝑥2|𝑒1)=12(𝑒2−0−12𝑒2+12)=𝑒2+14解法二：求导列积分列lnXx1𝑥12𝑥2∫𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥=12𝑥2𝑙𝑛𝑥−12∫1𝑥𝑥2𝑑𝑥=12𝑥2𝑙𝑛𝑥−12∫𝑥𝑑𝑥=12𝑥2𝑙𝑛𝑥−14𝑥2+c∫𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥𝑒1=(12𝑥2𝑙𝑛𝑥−14𝑥2)|1𝑒=(12𝑒2𝑙𝑛𝑒−14𝑒2)−(1212𝑙𝑛1−1412)=𝑒2+147.I+A=[100010001]⁡⁡⁡+⁡[−1131−151−2−1]⁡⁡=[0131051−20](𝐼+𝐴)∗=[10−655−33−21−1]|𝐼+𝐴|=|0130251−20|=|1325|=−1(𝐼+𝐴)−1=[−106−5−53−32−11]8.𝐴∗=[−43−2−86−5−75−4]|𝐴|=|12−30−450−56|=1𝐴−1=[−43−2−86−5−75−4]X=B𝐴−1=[1−30027][−43−2−86−5−75−4]=[20−1513−6547−38]9.系数矩阵为A=[102−1−11−322−15−3]→[102−101−110−11−1]⁡→[102−101−110000]一般解为：{𝑥1=−2𝑥3+𝑥4,𝑥2=𝑥3−𝑥4⁡(𝑥3,𝑥4是自由未知量)10.𝐴̅=[1−1422−1−113−23𝜆]→[1−14201−9−301−9𝜆−6]→[10−5−101−9−3000𝜆−3]秩(A)=2.若方程组有解，则秩(𝐴̅)=2，则λ−3=0即λ=3一般解为：{𝑥1=5𝑥3−1,𝑥2=9𝑥3−3⁡(𝑥3是自由未知量)二、应用题（每题10分，共40分）（如果以附件形式提交，请在在线输入框中，输入“见附件”）题目21．设生产某种产品个单位时的成本函数为（万元），求：①时的总成本、平均成本和边际成本；②产量为多少时，平均成本最小．2．某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少？3．投产某产品的固定成本为36（万元），边际成本为（万元/百台）．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低．4．生产某产品的边际成本为（万元/百台），边际收入为（万元/百台），其中为产量，求：①产量为多少时利润最大；②在最大利润产量的基础上再生产2百台，利润将会发生什么变化．参考答案：1．(1)总成本为C(10)=100+0.25*102+6*10=185(万元)平均成本为C(10)/10=18.5(万元)C’(q)=0.5q+6边际成本为C’(10)=56(2)平均成本𝐶̅(𝑞)=100+0.25𝑞2+6𝑞𝑞𝐶̅′(𝑞)=−100𝑞2+0.25令𝐶̅′(𝑞)=0，q=20(q=-20舍去)该平均成本函数只有一个驻点，再由实际问题本身可知，平均成本函数有最小值，因此，当产量q为20时，平均成本最小2.总收入为R(q)=pq=(14-0.01q)q=14q-0.01𝑞2总利润为L(q)=R(q)−C(q)=14q−0.01𝑞2−20−4𝑞−0.01𝑞2=−0.02𝑞2+10𝑞−20边际利润L′(q)=−0.04q+10令L′(q)=0，得驻点q=250,该利润函数只有一个驻点，再由实际问题本身可知，L(q)有最大值，此时L(250)=1230产量为250时利润最大，最大利润为1230元3.（1）总成本的增量：ΔC=C(6)−C(4)=∫𝑐′(𝑥)𝑑𝑥=∫(2𝑥+40)𝑑𝑥=(𝑥2+40𝑥)|466464=100即产量由4百台增至6百台时总成本的增量为100万元.（2）总成本为C(x)=∫𝑐′(𝑥)𝑑𝑥=∫(2𝑥+40)𝑑𝑥=𝑥2+40𝑥+𝐶固定成本为36,即当x=0时，c(0)=36,得C=36,所以C(x)=𝑥2+40𝑥+36平均成本𝐶̅(𝑥)=c(x)𝑥=𝑥2+40𝑥+36𝑥=𝑥+40+36𝑥令𝐶̅′(𝑥)=1−36𝑥2=0,则x=6(x=-6舍去)𝐶̅(𝑥)仅有一个驻点x=6;𝐶̅(𝑥)=72𝑥3𝐶̅(6)=72630即产量为6时，可使平均成本达到最低4.(1)边际利润为L’(x)=R’(x)-C’(x)=100-2x-8x=100-10x令L’(x)=0,即100-10x=0，得驻点x=10，该函数没有导数不存在的点。因为L”(x)=(100-10x)’=-10所以L”(10)=-100x=10是利润函数的极大值点，即产量为10百台时，利润最大(2)ΔL=L(12)−L(10)=∫𝐿′(x)1210𝑑𝑥=∫(100−10x)1210𝑑𝑥=(100x−10x2)|1012=-20即在最大利润产量的基础上再生产2百台，利润将会减少20万元