人教版数学必修5知识点总结

高中数学必修5知识点第一章解三角形（一）解三角形：1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，，则有2sinsinsinabcRC(R为C的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sinaR，2sinbR，2sincRC；②sin2aR，sin2bR，sin2cCR；③::sin:sin:sinabcC；3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac．4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，推论：222cos2bcabc第二章数列1、数列中na与nS之间的关系：11,(1),(2).nnnSnaSSn注意通项能否合并。2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即na－1na=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数aAb、、成等差数列2abA⑶通项公式：1(1)()nmaandanmd或(napnqpq、是常数）.⑷前n项和公式：11122nnnnnaaSnad⑸常用性质：①若Nqpnmqpnm,,,，则qpnmaaaa；②下标为等差数列的项,,,2mkmkkaaa，仍组成等差数列；③数列ban（b,为常数）仍为等差数列；④若{}na、{}nb是等差数列，则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、，…也成等差数列。⑤单调性：na的公差为d，则：ⅰ）0dna为递增数列；ⅱ）0dna为递减数列；ⅲ）0dna为常数列；⑥数列{na}为等差数列napnq（p,q是常数）⑦若等差数列na的前项和，则、、…是等差数列。3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数ab、G、成等比数列2,Gab（ab同号）。反之不一定成立。⑶通项公式：11nnmnmaaqaq⑷前n项和公式：11111nnnaqaaqSqq⑸常用性质①若Nqpnmqpnm,,,，则mnpqaaaa；②,,,2mkmkkaaa为等比数列，公比为kq(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)③数列na（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列na；则lgna是公差为lgq的等差数列；④若na是等比数列，则2nncaa，，1na，()rnarZ是等比数列，公比依次是21.rqqqq，，，⑤单调性：110,10,01aqaq或na为递增数列；110,010,1naqaqa或为递减数列；1nqa为常数列；0nqa为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。nnSkSkkSS2kkSS23⑦若等比数列na的前项和，则、、…是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型Ⅱ公式法：若已知数列的前项和与na的关系，求数列na的通项na可用公式11,(1),(2)nnnSnaSSn构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a和na合为一个表达，（要先分1n和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。类型Ⅲ累加法：形如)(1nfaann型的递推数列（其中)(nf是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)..(1.)nnnnaafnaafnaaf将上述1n个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan①若()fn是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若()fn是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若()fn是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若()fn是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.类型Ⅳ累乘法：形如1()nnaafn1()nnafna型的递推数列（其中)(nf是关于n的函数）可构造：11221(1)(.2)(1..)nnnnafnaafnaafa将上述1n个式子两边分别相乘，可得：nnSkSkkSS2kkSS23nnS1(1)(2)...(2)(1),(2)nafnfnffan有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型Ⅴ构造数列法：㈠形如qpaann1（其中,pq均为常数且0p）型的递推式：（1）若1p时，数列{na}为等差数列;（2）若0q时，数列{na}为等比数列;（3）若1p且0q时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设1()nnapa,展开移项整理得1(1)nnapap,与题设1nnapaq比较系数（待定系数法）得1,(0)()111nnqqqpapappp1()11nnqqapapp,即1nqap构成以11qap为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1nqap的通项整理可得.na法二：由qpaann1得1(2)nnapaqn两式相减并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa构成以21aa为首项，以p为公比的等比数列.求出1nnaa的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出.na㈡形如1()nnapafn(1)p型的递推式：⑴当()fn为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设1(1)nnaAnBpaAnB，通过待定系数法确定AB、的值，转化成以1aAB为首项，以p为公比的等比数列naAnB，再利用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整理可得.na法二：当()fn的公差为d时，由递推式得：1()nnapafn，1(1)nnapafn两式相减得：11()nnnnaapaad，令1nnnbaa得：1nnbpbd转化为类型Ⅴ㈠求出nb，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出.na⑵当()fn为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设1()(1)nnafnpafn，通过待定系数法确定的值，转化成以1(1)af为首项，以p为公比的等比数列()nafn，再利用等比数列的通项公式求出()nafn的通项整理可得.na法二：当()fn的公比为q时，由递推式得：1()nnapafn——①，1(1)nnapafn，两边同时乘以q得1(1)nnaqpqaqfn——②，由①②两式相减得11()nnnnaaqpaqa，即11nnnnaqapaqa，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出.na法三：递推公式为nnnqpaa1（其中p，q均为常数）或1nnnaparq（其中p，q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1nq，得：qqaqpqannnn111，引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。⑶当()fn为任意数列时，可用通法：在1()nnapafn两边同时除以1np可得到111()nnnnnaafnppp，令nnnabp，则11()nnnfnbbp，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出nb之后得nnnapb.类型Ⅵ对数变换法：形如1(0,0)qnnapapa型的递推式：在原递推式1qnapa两边取对数得1lglglgnnaqap，令lgnnba得：1lgnnbqbp，化归为qpaann1型，求出nb之后得10.nbna（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。类型Ⅶ倒数变换法：形如11nnnnaapaa（p为常数且0p）的递推式：两边同除于1nnaa，转化为111nnpaa形式，化归为qpaann1型求出1na的表达式，再求na；还有形如1nnnmaapaq的递推式，也可采用取倒数方法转化成111nnmmaqap形式，化归为qpaann1型求出1na的表达式，再求na.类型Ⅷ形如nnnqapaa12型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列}{1nnaa的形式求解。方法为：设)(112nnnnkaahkaa，比较系数得qhkpkh,，可解得hk、，于是1{}nnaka是公比为h的等比数列，这样就化归为qpaann1型。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴错位相减法①若数列na为等差数列，数列nb为等比数列，则数列nnab的求和就要采用此法.②将数列nnab的每一项分别乘以nb的公比，然后在错位相减，进而可得到数列nnab的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.⑵裂项相消法一般地，当数列的通项12()()ncaanbanb12(,,,abbc为常数）时，往往可将na变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12naanbanb，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cbb，从而可得12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb常见的拆项公式有：①111(1)1nnnn；②1111();(21)(21)22121nnnn③11();ababab④11;mmmnnnCCC⑤!(1)!!.nnnn⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.⑷倒序相加法如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121...nnaaaa⑸记住常见数列的前n项和：①(1)123...;2nnn②2135...(21);nn③22221123...(1)(21).6nnnn第三章不等式§3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）,abbcac③（可加性）abacbc（同向可加性）dbcadcba,（异向可减性）dbcadcba,④（可积性）bcaccba0,bcaccba0,⑤（同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd⑥（平方法则）0(,1)nnababnNn且⑦（开方法则）0(,1)nnababnNn且⑧（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式①222abababR，,（当且仅当ab时取号）.变形公式：22.2abab②（基本不等式）2abababR，,（当且仅当ab时取到等号）