直线与圆锥曲线的交点

高中数学选修2-1学案编号：20高二班组姓名评价课题直线与圆锥曲线的交点设计：宁勇强审核：包科领导：2020年4月30日学习目标：理解曲线交点的概念，会通过联立方程求解的办法求曲线的交点，会用设而不求的方法解决有关直线与圆锥曲线交点的综合问题。知识学习导读曲线的公共点分交点和切点两种，都可以通过联立方程求解的方法求出公共点，但更多的时候交点是不必求出的，只要把由交点引起的问题予以解决即可，这就需要解析几何中一种非常重要的处理办法：设而不求。（1）曲线0),(yxf与0),(yxg的交点问题，可以通过讨论方程组的解来解决。也就是说两条曲线的交点问题与完全等价。（2）交点问题一般有“定性、定量、定点”三个层次。“定性”讨论有没有公共点，“定量”讨论有几个公共点，“定点”要求出公共点的坐标。第三层次的问题求出方程组的解即可，第二层次的问题只要判断出方程组的解的个数即可，而第一层次的问题只需知道方程组有解与否。（3）交点问题其实就是位置关系问题。直线与圆的位置关系有，，三种，由几何条件确定，结论是：。如果用代数方法确定，首先联立直线与圆的方程，接着消元得一元二次方程，判别式为△，则结论是：.直线与椭圆的位置关系可类似这里的第二种方程讨论。另外，画图是讨论位置关系的一种非常有效的方法。（4）如果问题只是与交点有关，那么可以只设出交点的坐标，通过整体代入解决问题而不具体求点的坐标，这种方法在解析几何中称“设而不求”。它往往需要中点坐标、韦达定理和弦长公式、斜率公式等来配合。常用的方法有“k参数法”（也可称之为设代法）和“点差法”。（5）曲线上两点间的线段称为弦。弦长当然可用两点的距离公式来求。斜率为k的弦可用如下公式求弦长：｜AB｜＝||11||1212212yykxxk，其中21221214)(||xxxxxx，21221214)(||yyyyyy.自学检测：1.直线0yx与曲线2222yx的交点坐标是，所得弦长为.2.过P(0，2)的直线与曲线12xy有个交点.3.已知过P(0，2)的直线l与曲线2222yx相切，则l的方程为.4.过点（-1，1）与曲线xy42有一个公共点的直线有条。5.过点(0，2)与曲线2222yx有一个公共点的直线有条。我的疑问与困惑：计算可以揭示天体运行的规律，计算可以发现新的天体，当然计算也可以得到曲线的交点。-2-案例研究研究1交点个数与位置关系的讨论例1通过画图、观察，讨论直线1kxy与双曲线1422yx的位置关系。小结：一般地，变式1直线1kxy与双曲线422yx仅有一个公共点，求k的范围。变式2通过画图、观察，讨论过点A（-2,1）的直线与抛物线xy42的位置关系。小结：①过焦点的弦称为焦点弦。与主轴垂直的焦点弦称为通径。抛物线)0(22ppxy的通径长为p2，这也是抛物线标准方程中系数p2的一个几何意义。②一般地，研究2弦长公式的应用例2椭圆122byax与直线1yx交于A、B两点，已知22||AB，且AB的中点C与椭圆的中心连线的斜率为22，求椭圆方程。小结：计算可以揭示天体运行的规律，计算可以发现新的天体，当然计算也可以得到曲线的交点。-3-研究3直线与圆锥曲线的综合问题例3已知抛物线xy2与直线)1(xky相交于A、B两点。求证：OA⊥OB.小结：例4已知双曲线2x－32y＝1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，求直线AB的斜率小结：巩固练习1．已知对k∈R，直线y－kx－1=0与椭圆52x+my2=1恒有公共点，则实数m的取值范围是：A.（0，1）B.（0，5）C.［1，5）∪（5，+∞）D.［1，5）2．已知（4，2）是直线l被椭圆362x+92y=1所截得的线段的中点，则l的方程是____________.3．AB为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦，若|AB|=1，则AB中点的横坐标为___________；若AB的倾斜角为，则|AB|=____________.4．直线022yx与椭圆4422yx的交点为A、B，求A、B间的距离。5．过抛物线xy42的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O抛物线的顶点，求△OAB的面积的最小值。计算可以揭示天体运行的规律，计算可以发现新的天体，当然计算也可以得到曲线的交点。-4-6．中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线01yx相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程。思考探究1.过点P(00,yx)的直线方程既可设为，还可设为00)(xyykx.从本质上说，两种设法是相当的。一般情况下都可以按第一种方法设，但有时选后一种设法会使问题的讨论更简捷。如果弦AB所在直线方程按第二种方法设，则弦长公式应为：||1||21yyAB||121xx.其中的k的几何意义是.2.求过点（0，2）的直线被椭圆2x＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程。3.在抛物线yx42上恒有两点关于直线)3(xky对称，求k的取值范围。