离散数学习题集(十五套)

离散数学试题与答案试卷一一、填空20%（每小题2分）1．设}7|{)},5()(|{xExxBxNxxA且且（N：自然数集，E+正偶数）则BA。2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。3．设P，Q的真值为0，R，S的真值为1，则)()))(((SRPRQP的真值=。4．公式PRSRP)()(的主合取范式为。5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)()(xxPxxP在I下真值为。6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2=。7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则R=。8．图的补图为。9．设A={a，b，c，d}，A上二元运算如下：ABC*abcdabcdabcdbcdacdabdabc那么代数系统A，*的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。10．下图所示的偏序集中，是格的为。二、选择20%（每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa；B．}}{,{}}{{；C．}},{{；D．}}{{}{。2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}；B．{，3，4}；C．{4，，3，3}；D．{3，4}。3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。A．23；B．32；C．332；D．223。4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S是自反的，则SR是自反的；B．若R，S是反自反的，则SR是反自反的；C．若R，S是对称的，则SR是对称的；D．若R，S是传递的，则SR是传递的。5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsAptstsR则P（A）/R=（）A．A；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f:IE,f(x)=2x；B．f:NNN,f(n)=n,n+1；C．f:RI,f(x)=[x]；D．f:IN,f(x)=|x|。（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3的通路有（）条。A．0；B．1；C．2；D．3。9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。A．1；B．2；C．3；D．4。三、证明26%１、R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当a,b和a,c在R中有.b,c在R中。（8分）２、f和g都是群G1,★到G2,*的同态映射，证明C,★是G1,★的一个子群。其中C=)}()(|{1xgxfGxx且(8分)３、G=V,E(|V|=v，|E|=e)是每一个面至少由k（k3）条边围成的连通平面图，则2)2(kvke，由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。（11分）四、逻辑推演16%用CP规则证明下题（每小题8分）1、FAFEDDCBA,2、)()())()((xxQxxPxQxPx五、计算18%1、设集合A={a，b，c，d}上的关系R={a,b,b,a,b,c,c,d}用矩阵运算求出R的传递闭包t(R)。（9分）2、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,vvv及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。（９分）试卷二试题与答案一、填空20%（每小题2分）1、P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。2、论域D={1，2}，指定谓词PP(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)TTFF则公式),(xyyPx真值为。2、设S={a1，a2，…，a8}，Bi是S的子集，则由B31所表达的子集是。3、设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数xyxyxR，则R=（列举法）。R的关系矩阵MR=。5、设A={1，2，3}，则A上既不是对称的又不是反对称的关系R=；A上既是对称的又是反对称的关系R=。6、设代数系统A，*，其中A={a，b，c},则幺元是；是否有幂等性；是否有对称性。7、4阶群必是群或群。8、下面偏序格是分配格的是。9、n个结点的无向完全图Kn的边数为，欧拉图的充要条件是。10、公式RQPQPP)(())((的根树表示为。*abcabcabcbbcccb二、选择20%（每小题2分）1、在下述公式中是重言式为（）A．)()(QPQP；B．))()(()(PQQPQP；C．QQP)(；D．)(QPP。2、命题公式)()(PQQP中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。A．0；B．1；C．2；D．3。3、设}}2,1{},1{,{S，则S2有（）个元素。A．3；B．6；C．7；D．8。4、设}3,2,1{S，定义SS上的等价关系},,,,|,,,{cbdaSSdcSSbadcbaR则由R产生的SS上一个划分共有（）个分块。A．4；B．5；C．6；D．9。5、设}3,2,1{S，S上关系R的关系图为则R具有（）性质。A．自反性、对称性、传递性；B．反自反性、反对称性；C．反自反性、反对称性、传递性；D．自反性。6、设,为普通加法和乘法，则（）,,S是域。A．},,3|{QbabaxxSB．},,2|{ZbanxxSC．},12|{ZnnxxSD．}0|{xZxxS=N。7、下面偏序集（）能构成格。8、在如下的有向图中，从V1到V4长度为3的道路有（）条。A．1；B．2；C．3；D．4。9、在如下各图中（）欧拉图。10、设R是实数集合，“”为普通乘法，则代数系统R，×是（）。A．群；B．独异点；C．半群。三、证明46%1、设R是A上一个二元关系，)},,,(),(|,{RbcRcaAcAbabaS且有对于某一个试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。（9分）2、用逻辑推理证明：所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。（11分）3、若BAf:是从A到B的函数，定义一个函数ABg2:对任意Bb有)})(()(|{)(bxfAxxbg，证明：若f是A到B的满射，则g是从B到A2的单射。（10分）4、若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。（8分）5、设G是具有n个结点的无向简单图，其边数2)2)(1(21nnm，则G是Hamilton图（8分）四、计算14%1、设Z6,+6是一个群，这里+6是模6加法，Z6={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试求出Z6,+6的所有子群及其相应左陪集。（7分）2、权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。（7分）试卷三试题与答案一、填空20%（每空2分）1、设f，g是自然数集N上的函数xxgxxfNx2)(,1)(,，则)(xgf。2、设A={a，b，c}，A上二元关系R={a,a,a,b,a,c,c,c},则s（R）=。3、A={1，2，3，4，5，6}，A上二元关系}|,{是素数yxyxT，则用列举法T=；T的关系图为；T具有性质。4、集合}}2{},2,{{A的幂集A2=。5、P，Q真值为0；R，S真值为1。则))()(())((SRQPSRPwff的真值为。6、RRQPwff))((的主合取范式为。7、设P（x）：x是素数，E(x)：x是偶数，O(x)：x是奇数N(x,y)：x可以整数y。则谓词))),()(()((xyNyOyxPxwff的自然语言是。8、谓词)),,()),(),(((uyxuQzyPzxPzyxwff的前束范式为。二、选择20%（每小题2分）1、下述命题公式中，是重言式的为（）。A、)()(qpqp；B、))())(()(pqqpqp；C、qqp)(；D、qpp)(。2、rqpwff)(的主析取范式中含极小项的个数为（）。A、2；B、3；C、5；D、0；E、8。3、给定推理①))()((xGxFxP②)()(yGyFUS①③)(xxFP④)(yFES③⑤)(yGT②④I⑥)(xxGUG⑤)())()((xxGxGxFx推理过程中错在（）。A、①-②;B、②-③;C、③-④;D、④-⑤;E、⑤-⑥4、设S1={1，2，…，8，9}，S2={2，4，6，8}，S3={1，3，5，7，9}，S4={3，4，5}，S5={3，5}，在条件31SXSX且下X与（）集合相等。A、X=S2或S5；B、X=S4或S5；C、X=S1，S2或S4；D、X与S1，…，S5中任何集合都不等。5、设R和S是P上的关系，P是所有人的集合，},|,{的父亲是yxPyxyxR，},|,{的母亲是yxPyxyxS则RS1表示关系（）。A、},|,{的丈夫是yxPyxyx；B、},|,{的孙子或孙女是yxPyxyx；C、；D、},|,{的祖父或祖母是yxPyxyx。6、下面函数（）是单射而非满射。A、12)(,:2xxxfRRf；B、xxfRZfln)(,:；C、的最大整数表示不大于xxxxfZRf][],[)(,:；D、12)(,:xxfRRf。其中R为实数集，Z为整数集，R+，Z+分别表示正实数与正整数集。7、设S={1，2，3}，R为S上的关系，其关系图为则R具有（）的性质。A、自反、对称、传递；B、什么性质也没有；C、反自反、反对称、传递；D、自反、对称、反对称、传递。8、设}}2,1{},1{,{S，则有（）S。A、{{1,2}}；B、{1,2}；C、{1}；D、{2}。9、设A={1,2,3}，则A上有（）个二元关系。A、23；B、32；C、322；D、232。10、全体小项合取式为（）。A、可满足式；B、矛盾式；C、永真式；D、A，B，C都有可能。三、用CP规则证明16%（每小题8分）1、FAFEDDCBA,2、)()())()((xxQxxPxQxPx四、（14%）集合X={1,2,3,4,5,6,…}，R={x1,y1,x2,y2|x1+y2=x2+y1}。1、证明R是X上的等价关系。（10分）2、求出X关于R的商集。（4分）五、（10%）设集合A={a,b,c,d}上关系R={a,b,b,a,b,c,c,d}要求1、写出R的关系矩阵和关系图。（4分）2、用矩阵运算求出R的传递闭包。（6分）六、（20%）1、（10分）设f和g是函数，证明gf也是函数。2、（10分）设函数STfTSg::，证明STf:有一左逆函数当且仅当f是入射函数。试卷四试题与答案一、填空10%（每小题2分）1、若P，Q，为二命题，QP真值为0当且仅当。2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，yxyxL:),(则命题的逻辑谓词公式为。3、谓词合式公式)()(xxQxxP的前束范式为。4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消