(鲁教版初四)九年级上下册数学知识点汇总

鲁教版初四知识点第一章反比例函数一、反比例函数1.定义:一般地,形如y＝k／x(k为常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,其中x是自变量，y是x的函数,k是比例系数。若y=k/nx此时比例系数为:k/n,如y=2/3x的比例系数为2/3反比例函数的定义中需要注意什么？(1)常数k称为比例系数,k是非零常数；(2)自变量x次数不是1,x与y的积是非零常数；(3)除k、x、y三项以外,不含其他项。反比例函数自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。2.反比例函数的三种表现形式:(k为常数,k≠0)(1)y＝k／x(2)xy=k(3)y=kx-1(即:y等于x的负一次方,此处x必须为一次方)2.K的几何含义:反比例函数y＝k／x(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y＝k／x(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线,设垂足分别为A、B,则所得矩形OAPB的面积为|k|，所得三角形面积|k|/2。二、反比例函数的图象和性质1.图像:反比例函数的图像是双曲线,他们关于原点成中心对称。双曲线只能与坐标轴无限靠近,永远不能与坐标轴相交。因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。2.性质:当k0时,两支曲线分别位于第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小；当k0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大。三、用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：⑴设所求的反比例函数y＝k／x⑵将已知条件代入得到关于k的方程⑶解方程求出k的值⑷把k的值代入反比例函数y＝k／x中四、反比例函数的应用：1.建立反比例函数模型2.求出反比例函数解析式3.结合函数解析式图像性质做出解答，特别要注意自变量的取值范围。第二章解直角三角形一、锐角三角函数在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式:sin∠A=∠A的对边长/斜边长，sinA记为∠A的正弦；sinA=a/ccos∠A=∠A的邻边长/斜边长，cosA记为∠A的余弦；cosA=b/ctan∠A=∠A的对边长/∠A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/btanA记为∠A的正切1.sin=对/斜cos=邻/斜tan=对/邻2.sinA=cos(90°-A)cosA=sin(90°-A)tanA=sinA/cosAsin²A＋cos²A＝１3.增减性(A为锐角)sinA、tanA随着∠A的增大而增大,cosA、随着∠A的增大而减小4.取值范围:0sinA1,0cosA1,tanA0。二、30°,45°,60°角的三角函数三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα30°45°60°三.解直角三角形及其应用1.解直角三角形的概念:在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。2.解直角三角形的依据:(2)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理)(3)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°(4)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cot=b/a3.解直角三角形的原则(1)有角先求角,无角先求边(2)有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。这两句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据。4.解直角三角形的应用(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形；(3)仰角和俯角在进行观察或测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。第二章二次函数一.对函数的再认识定义:一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量x某一范围内的每一个确定值,y都有惟一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数。强调:对于函数概念的理解,主要抓住以下三点①函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系；②自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应；③自变量的取值范围。函数值的定义:对于自变量在可以取值范围内的一个确定的值函数有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当时函数的值,简称函数值。一二次函数及其表达式1.定义:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。ax2叫做二次项,a为二次项系数,bx叫做一次项,b为一次项系数,c为常数项。注意:二次函数的二次项系数不能为零。因为如果a为0,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数!33132323222221212.三种表达式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,对称轴x=h,顶点坐标是(h,k)(3)交点式:y=(x-x1)(x-x2),与x轴两交点坐标为(x1,0)、(x2,0)3.确定函数的解析式一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式y=a(x-h)2+k,在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=(x-x1)(x-x2)；在所给的三个条件是任意三点时,可设一般式y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解。三、二次函数的图像与性质二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象,是一个轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a对于一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0),当x=-b/2a时,y最大或最小。即抛物线顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a)(1)a决定开口方向:a0开口向上；a0开口向下补充:|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大①当a0时,开口向上,对称轴左侧(即x-b/2a时),y随x增大而减小；对称轴右侧(x≥-b/2a),y随x增大而增大。当x=-b/2a时,有最小值y=4ac-b2/4a；②当a0时,开口向下,对称轴左侧(即x-b/2a时),y随x增大而增大；对称轴右侧((x≥-b/2a)),y随x增大而减小。当x=-b/2a时,有最大值y=4ac-b2/4a。(2)a、b共同决定对称轴:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b/2aa、b同号(即ab0,则-b/2a0)对称轴在y轴左侧a、b异号(即ab0,则-b/2a0)对称轴在y轴右侧b=0对称轴是y轴(3)c决定抛物线与y轴的交点(与y轴交点的横坐标为0,即x=0,此时纵坐标y=c):c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交c=0经过坐标原点(即x=0时,纵坐标y=c=0)(4)Δ=b2-4ac确定抛物线与x轴交点的个数(联系一元二次方程):b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac=0与x轴有一个交点b2-4ac0与x轴无交点(5)抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方,即函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是正值的条件是a0且b2-4ac0(开口向上且与x轴无交点)(6)抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方,即函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是负值的条件是a0且b2-4ac0(开口向下且与x轴无交点)同样自己可确定不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非负数或非正数的条件四、二次函数与一元二次方程二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根,反之也成立。第四章投影与视图一、投影：1.光源点光源：像手电筒、路灯、台灯都可以看成一个点光源。平行光源：太阳光可以看成是一个平行光源2.概念定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。（1）平行投影：由平行光线（太阳的光线是平行光线）形成的投影。（2）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。（3）两者区别与联系：区别：平行投影平行的投射线物体与原物体全等中心投影从一点出发的投射线放大(位似变换)相同：都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子。(即都是投影)3.投影知识点：测量同一时刻物体的高度和影长时：①两物体的高度之比等于影长之比时，则这两个物体的影子是平行投影。②若两物体的高度之比不等于影长之比时，则这两个物体的影子是中心投影4.投影的性质：①将两个等高物体垂直于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较短，反之则越长。②将两个等高物体平行于与地面放置时，离点光源较近的物体的影子较长，反之则越短。5．易错题整理：1）直线的平行投影一定是直线（×）原因：2）矩形的投影一定是矩形（×）原因：3）一个圆在平面上的投影一定是圆。（×）原因：二．视图：1.概念：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。2.分类：视图有：主视图、左视图、俯视图3.正方体的主要视图及展开：正方体的展开图有11种：1）1-4-1型：6种①--⑥2）2-3-1型：3种⑦--⑨3）2-2-2型：1种⑩4）3-3型：1种⑪4.看视图确定物体有多少正方体组成：在俯视图中画圈标注，在观察主视图，左视图确定有几层，每层有几个。第五章圆一、圆1.定义(1)几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中,定点称为圆心,定长称为半径的长（通常也称为半径）。以点O圆心的圆记作⊙O作“圆O(2)轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆(3)集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母d表示。圆心决定圆的位置,半径和直径决定圆的大小。在同一个圆或等圆中,半径都相等,直径也都相等,直径是半径的2倍,半径是直径的1/2。2.点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内(1)点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；(2)点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；(3)点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。3.圆的有关概念(1)弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。(2)圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。(3)弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(4)等弧:在同圆中能够重合的弧叫等弧二、圆的对称性1.圆是周对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴。2.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心。一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合。这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧特别注意:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧垂径定理的逆定理:平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等三、圆周角1.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角2.圆周角定理:同弧(等弧)所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半3.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等4.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径四、确定