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试卷第1页,总31页导数与三角函数的结合一、零点的判定与证明1.已知函数sin()xfxx,()cossingxxxx(1)判断函数gx在区间0,3上零点的个数;(2)函数fx在区间0,3上的极值点从小到大分别为1x,2x,证明:120fxfx.【分析】(1)先由原函数求出其导函数,再研究导函数在0,,2,,2,3的符号问题,从而得出函数gx在区间0,3上的单调性,从而得出函数gx在区间0,3上零点的个数;(2)先求出函数sin()xfxx的导函数,再结合(1)的结论及正切函数的性质可得21xx,再结合余弦函数的单调性即可得解.【详解】解:(1)因为()cossingxxxx,所以()cossincossingxxxxxxx,当0x,时,sin0()0xgx,()gx在0(,)上单调递减,()(0)0gxg,()gx在0,上无零点;当,2x时,sin0()0xgx,()gx在2(,)上单调递增,()0,(2)20gg,()gx在2(,)上有唯一零点;当2,3x时,sin0()0xgx,()gx在2(,3)上单调递减,(2)0,(3)0gg,()gx在2,3上有唯一零点,综上,函数()gx在区间0,3上有两个零点;(2)因为sin()xfxx,所以cossin()2xxxfxx,由(1)知()fx在0x,无极值点;在,2x有极小值点,即为1x;在2,3x有极大值点,即为2x,由cossin0,tannnnnnxxxxx,1,2n,试卷第2页,总31页21211tantantan(),xxxxx35()0,()10,(2)0,()022gggg以及tanyx的单调性,1235(,),(2,)22xx,215,(2,)2xx,由函数tanyx在52,2单调递增,得21xx,12121212sinsin()()coscosxxfxfxxxxx,由cosyx在52,2单调递减得211coscos()cosxxx,即12coscos0xx,故12()()0fxfx.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数的零点,主要考查了三角函数的单调性,重点考查了运算能力,属综合性较强的题型.2.已知函数cos()axfxbx,曲线()yfx在点(,())22f处的切线方程为620xy.(1)求()fx的解析式;(2)判断方程3()12fx在(0,2]内的解的个数,并加以证明.【答案】(1)3cos1xfxx;(2)方程312fx在0,2上有3个解;证明见解析。【解析】【分析】(1)根据直线的切线方程,可得斜率即过的定点坐标,对函数求导,代入横坐标即可求得参数a;将横坐标带入原函数即可求得b,即得解析式。(2)令312gxfx,对gx求导,并可知06g,02g,根据零点存在定理及单调性可知在0,2上只有一个零点。同理,讨论在各区间的端点符号及单调性即可判断零点情况。【详解】(1)直线620xy的斜率为6,过点,12试卷第3页,总31页2sincos'axxxfxx,则26'2af,即3a12fb所以3cos1xfxx(2)方程312fx在0,2上有3个解。证明:令33cos3122xgxfxx,则23sincos'xxxgxx又933062g,3022g,所以gx在0,2上至少有一个零点又gx在0,2上单调递减,故在0,2上只有一个零点,当3,22x时,cos0x,故0gx,所以函数gx在3,22上无零点.当3,22x时,令sincoshxxxx,'cos0hxxx,所以hx在3,22上单调递增,20h,302h所以03,22x,使得gx在03,2x上单调递增,在0,2x上单调递减.又20g,302g,所以函数gx在3,22上有2个零点.综上,方程312fx在0,2上有3个解.【点睛】本题考查了导数的性质及综合应用,零点的判断及证明,单调性的应用,综合性强,是高考的常考点,属试卷第4页,总31页于难题。3.已知函数1()sinfxxx,(0,)x,()fx为()fx的导数,证明:(1)()fx在区间(0,)上有唯一零点;(2)()fx有且仅有两个零点.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先求得21()cosfxxx,要判断导数存在唯一零点,得先对导数求导,得到()0fx,再由零点存在定理进行证明即可(2)由(1)可知()fx存在02(,)23x,使得21()cos0fxxx,即0201cosxx,要求证()fx有且仅有两个零点,得先验证存在两点使得()0fx,可取6x和x验证,再证明0001()sin0fxxx,由于001sinxx无法结合0201cosxx进行代换,但001sin0xx,通过20000002111sinsinsinxxxxxx,可将201x进行代换,进一步可证明02201sin0xx,从而得到001sin0xx,即可求证【详解】解:(1)21()cosfxxx,32()sin0fxxx故()fx在(0,)上单调递减.又24()002f,22221992()03244f故()fx在(0,)上有唯一零点.(2)设()fx在(0,)上的零点为0x,由第(1)问知0201cosxx,02(,)23x且()fx在0(0,)x上单调递增,在0(,)x上单调递减.16()062f,1()0f试卷第5页,总31页因为02(,)23x,故01cos(,0)2x故22220000020111sinsincoscoscos1()1022xxxxxx即0001()sin0fxxx故()fx在0(0,)x有且只有一个零点,在0(,)x有且只有一个零点故()fx有且仅有两个零点【点睛】本题考查函数的导函数零点个数的判断问题,函数零点个数的求证问题,其中利用零点存在性定理求证函数存在两零点是难点,(2)问和(1)问联系紧密,利用导数为零关系式进行代换是解题核心,利用配方法代换201x过程并不容易想到,解决此类题型要多思考,多观察,注意关联性。4.已知函数()2xfxecosxx.(1)求()fx在点(0,(0))f处的切线方程;(2)求证:()fx在(,)2上仅有2个零点.【答案】(1)yx,(2)见解析【解析】【分析】(1)求导得到'(0)1kf,代入切点得到切线方程yx.(2)先验证0是函数的1个零点,再求导得到当02xx时,函数()fx单调递减.当0xx时,函数()fx单调递增,得到0()0fx,根据零点存在定理得到证明.【详解】(1)()2xfxecosxx,s'()2inxfxex'(0)1kf,(0)0f故切线方法为:yx(2)()2xfxecosxx,易知:(0)0f,0是函数的1个零点s'()2inxfxex试卷第6页,总31页取'()20sinxfxex,即sin2xex画出函数图像:知两函数有一个交点设为00(,)xy,001x当02xx时,'()0fx,函数()fx单调递减.(0)0f,所以0()0fx当0xx时,'()0fx,函数()fx单调递增.x时,()fx,根据零点存在定理:当0xx时有且仅有一个零点综上所述:()fx在(,)2上仅有2个零点【点睛】本题考查了函数的切线问题,零点问题,根据单调性判断存在0()0fx是解题的关键,意在考查学生的综合应用能力.5.已知函数cosxfxex.(1)求fx在点0,0f处的切线方程;(2)求证:fx在,2上仅有2个零点.【答案】(1)0xy;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求出0f和0f,然后利用点斜式写出所求切线的方程;(2)利用当0x时,cosxex来说明函数yfx在0,上没有零点,并利用函数yfx的试卷第7页,总31页单调性和零点存在定理证明出函数yfx在区间,02上有且只有一个零点,并结合00f,可证明出函数yfx在区间,2上有两个零点.【详解】(1)cosxfxexQ,则sinxfxex,00f,01f.因此,函数yfx在点0,0f处的切线方程为yx,即0xy;(2)当0x时,1cosxex,此时,cos0xfxex,所以,函数yfx在区间0,上没有零点;又00f,下面只需证明函数yfx在区间,02上有且只有一个零点.sinxfxex,构造函数sinxgxex,则cosxgxex,当02x时,cos0xgxex,所以,函数yfx在区间,02上单调递增,2102feQ,010f,由零点存在定理知,存在,02t,使得0ft,且当2xt时,0fx,当0tx时,0fx.所以,函数yfx在xt处取得极小值,则00ftf,又202fe,所以02fft,由零点存在定理可知,函数yfx在区间,02上有且只有一个零点.综上所述,函数yfx在区间,2上有且仅有两个零点.【点睛】本题考查利用导数求切线方程,以及利用导数研究函数零点个数问题,一般对于函数的零点个数问题,常利用单调性与零点存在定理来解决,考查分析问题和解决问题的能力,属于难题.7.已知函数sinln1fxxx.证明:(1)fx在区间0,存在唯一极大值点;(2)fx有且仅有1个零点.试卷第8页,总31页【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先确定函数定义域,根据函数fx的正负先判断出fx的单调性,然后确定fx的零点分布,由此得到fx的单调性即可完成证明;(2)对区间进行分段:1,,,,,22,分别考虑每一段区间上的零点情况,由此证明fx的零点仅有1个.【详解】函数fx的定义域为1,,(1)fx1cos1xx,fx21sin1xx,当0,x时,fx0所以fx在区间0,上单调递减,2f
本文标题:三角函数与导数的结合
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