指数函数、对数函数的图象与性质

名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）指数函数、对数函数的图象与性质名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）1．函数y＝ax(a0，a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R；2．函数y＝logax(a0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)；3．指数函数y＝ax的图象与对数函数y＝logax的图象(同底)关于直线y＝x对称，它们互为反函数；名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）4．指数函数、对数函数的图象和性质，如下表所示：名称指数函数对数函数一般形式y＝ax(a0，且a≠1)y＝logax(a0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）图象名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）单调性①当a1时，在(－∞，＋∞)上为增函数②当0a1时，在(－∞，＋∞)上为减函数①当a1时，在(0，＋∞)上为增函数②当0a1时，在(0，＋∞)上为减函数名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）函数值的分布①当a1时：若x0，则y1若x＝0，则y＝1若x0，则0y1②当0a1时：若x0，则0y1若x＝0，则y＝1若x0，则y1①当a1时：若x1，则y0若x＝1，则y＝0若0x1，则y0②当0a1时：若x1，则y0若x＝1，则y＝0若0x1，则y0名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）1．若指数函数y＝ax、对数函数y＝logax的底数a未确定，在研究其单调性、不等式或最值时，一定要对a分a1和0＜a＜1进行讨论．2．对于某些方程(如超越方程)f(x)＝g(x)，要判定其方程解的个数，当方程f(x)＝g(x)不易求解时，可以利用图象处理：在同一坐标系中，分别作出f(x)和g(x)的图象，它们的交点个数就是方程f(x)＝g(x)的解的个数．3．将等式(或不等式)两边同时取对数是一种常见变形形式．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）4．在解指数方程、指数不等式、对数方程、对数不等式时，应进行“同类”化一．5．解对数方程的基本思路：……⇒logaf(x)＝logag(x)⇒(或由f(x)＝g(x)解出x后代入原方程验根)名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）6．解对数不等式的基本思路：名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）7．指数函数图象的分布规律：位于第一象限的部分，随着底数的由小到大，图象自下向上分布．8．利用指数函数、对数函数的单调性，解决诸如方程、不等式、函数值的大小比较之类的问题．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）(2010上海市闸北区)设x∈R，f(x)＝(12)|x|.(1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数f(x)的大致图象；(2)若不等式f(x)＋f(2x)≤k对于任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．指数函数的图象名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【解析】(1)作图如下(2)f(x)＝(12)|x|，f(2x)＝(12)2|x|对于任意x∈R，(12)|x|＋(12)2|x|≤k恒成立．令(12)|x|＝t∈(0,1]，则y＝t2＋t(0t≤1)对称轴t＝－12，则当t＝1时，ymax＝2,所以k≥2即可.名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【名师点睛】考查函数的图象、换元法、二次函数的最值等知识．通过换元将其它问题转化为二次函数问题来研究是考试的方向．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）1．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a1)恒过点(1,10)，则m＝________.答案：9解析：可将点(1,10)代入f(x)＝ax2＋2x－3＋m，得m＝9.名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）2．方程ax＋1＝－x2＋2x＋2a(a0，a≠1)的解的个数为()A．0B．1C．2D．3答案：C解析：画出指数函数及二次函数的图象名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）(1)若0xy1，则()A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4yD．(14)x(14)y(2)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则()A．abcB．acbC．bacD．bca(3)（2012汕头一模）下列各式错误的是()A．330.80.7B．0..50..5log0.4log0.6C．0.10.10.750.75D．lg1.6lg1.4利用指数函数对数函数的性质比较大小名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【思路分析】比较大小的常用方法是化同底利用指、对数函数的单调性或利用－1,0,1等临界值进行比较．【解析】(1)C选项中函数f(x)＝log4x为增函数，选C.(2)∵log33log23log23，∴bclog23log22＝log33log3π∴ab，∴abc，故选A.(3)构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数3yx，为增函数，故A是对；对于B、D，构造对数函数0.5logyx为减函数，lgyx为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数0.75xy，为减函数，故C错．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【名师点睛】底数不同的指对式大小的比较，常借助于临界值0＝loga1,1＝a0＝logaa等进行．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）3．设a＝log132，b＝log23，c＝(12)0.3，则()A．abcB．acbC．bcaD．bac答案：B解析：由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a0,0c1，而b＝log231，因此选B.名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）4．已知0a1，x＝loga2＋loga3，y＝12loga5，z＝loga21－loga3，则()A．xyzB．zyxC．yxzD．zxy答案：C解析：∵x＝loga6，y＝loga5，z＝loga7，由0a1知其为减函数，∴yxz名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）5．(2010年深圳市)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x1x2x3B．x2x1x3C．x1x3x2D．x3x2x1已知函数f(x)＝log2(x2－ax－a)在区间(－∞，1－3]上是单调递减函数．求实数a的取值范围．答案：A解析：由f(x)＝0得x1＝－2x10，由g(x)＝0得lnx2＝－x2，因为x20，所以lnx20，即0x21，由h(x)＝0得x3＝x3＋11，所以x1x2x3.名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）已知函数f(x)＝log2(x2－ax－a)在区间(－∞，1－3]上是单调递减函数．求实数a的取值范围．【思路分析】从复合函数的单调性入手分析，注意函数的定义域．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【解析】令g(x)＝x2－ax－a，则g(x)＝(x－a2)2－a－a24，由以上知g(x)的图象关于直线x＝a2对称且此抛物线开口向上．因为函数f(x)＝log2g(x)的底数2＞1,在区间(－∞，1－3]上是减函数，所以g(x)＝x2－ax－a在区间(－∞，1－3]上也是单调减函数，且g(x)＞0.解得2－23≤a＜2.故a的取值范围是{a|2－23≤a＜2}．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）6．已知f(x)＝log13[3－(x－1)2]，求f(x)的值域及单调区间．解析：∵3－(x－1)2≤3，∴log13[3－(x－1)2]≥log133＝－1，即f(x)的值域是[－1，＋∞)．又3－(x－1)2＞0，得1－3＜x＜1＋3，∴x∈(1－3，1]时，3－(x－1)2单调递增，从而f(x)单调递减；x∈[1,1＋3)时，f(x)单调递增．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）已知函数f(x)＝ax－24－ax－1(a＞0，a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间(2，＋∞)上恒有f(x)≥0.指数、对数函数的综合问题名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）【解析】(1)由4－ax≥0，得ax≤4.当a＞1时，x≤loga4；当0＜a＜1时，x≥loga4.∴当a＞1时，f(x)的定义域为(－∞，loga4]；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为[loga4，＋∞)．令t＝4－ax，则0≤t＜2，且ax＝4－t2，∴f(x)＝4－t2－2t－1＝－(t＋1)2＋4，当t≥0时，f(x)是t的单调减函数，∴f(2)＜f(x)≤f(0)，即－5＜f(x)≤3，∴函数f(x)的值域是(－5,3]．名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）(2)若存在实数a使得函数f(x)在区间(2，＋∞)上恒有f(x)≥0，则区间(2，＋∞)是定义域的子集．由(1)知，a＞1不满足条件；若0＜a＜1，则loga4＜2，且f(x)是减函数．当x＞2时，ax＜a2.由于0＜a＜1，∴t＝4－ax＞3，∴f(x)＜0，即f(x)≥0不成立．综上，满足条件的a的取值范围是∅.名师大讲堂·2013高考总复习《数学》（理科）7．设函数f(x)＝lg(ax－bx)，(a＞1＞b＞0)，问：当a，b满足什么关系时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值？解析：当x∈(1，＋∞)时，lg(ax－bx)＞0恒成立⇔ax－bx＞1恒成立．令g(x)＝ax－bx.∵a＞1＞b＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴当x＞1时，g(x)＞g(1)＝a－b，∴当a－b≥1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．