第7章---位移法

第7章位移法§7-2等截面直杆的刚度方程§7-3无侧移刚架的计算§7-4有侧移刚架的计算§7-5位移法的基本体系§7-6对称性的应用§7-7支座移动和温度改变时的计算§7-8小结§7-1位移法的基本概念§7-1位移法的基本概念1关于位移法的简例■对称结构承受对称荷载，结点B只发生竖向位移Δ。■若求出位移Δ，则各杆件的变形和内力都可求出。■取位移Δ作为位移法基本未知量。§7-1位移法的基本概念NiiiiEAFul第一步，从结构中取出一个杆件进行分析。杆件的刚度方程第二步，把各杆综合成结构。各杆的杆端位移与基本位置量的关系为siniiu变形协调条件§7-1位移法的基本概念考虑结点B的平衡条件位移法的基本方程5NP1siniiiFF52P1siniiiiEAFlP521Psin0.637iiiiFEAlFaEA解方程，得N1N5PN2N4PN3P0.1590.2250.319FFFFFFFF§7-1位移法的基本概念位移法的要点（2）位移法的基本方程——平衡方程。（1）位移法的基本未知量——结点位移。（3）建立基本方程的过程分为两步：▲结构拆成杆件，进行杆件分析，得出杆件的刚度方程。▲再把杆件综合成结构，进行整体分析，得出位移法基本方程。（4）杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。因此位移法也叫做刚度法。位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或超静定而有所不同。§7-1位移法的基本概念（2）建立位移法基本方程（1）基本未知量——A和。2位移法计算刚架的基本思路■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。正负号规则§7–2等截面直杆的刚度方程杆端剪力（杆端横向力）FQAB、FQBA绕杆端顺时针转向为正。结点转角A、B、弦转角（=/l)和杆端弯矩（杆端力矩）MAB、MBA一律以顺时针转向为正；§7-2等截面杆件的刚度方程11361163AABBABABBAMMiiMMii1由杆端位移求杆端弯矩若杆件的线刚度EIilABl11361163AABBABABBAMMiilMMiil§7-2等截面杆件的刚度方程统称弯曲杆件的刚度方程转角位移方程426246ABABBAABMiiilMiiilDqqDqqüïï=+-ïïïýïï=+-ïïïþQQ216612ABBAABBAABFFMMliiilll§7-2等截面杆件的刚度方程（1）B端为固定支座（2）B端为铰支座426246ABABBAABMiiilMiiil4626ABABAAMiilMiil0BQQ26612ABBAABFFiiilll0BAM33ABAMiil§7-2等截面杆件的刚度方程426246ABABBAABMiiilMiiilQQ26612ABBAABFFiiilll（3）B端为滑动支座QQ00BABBAFFABABAAMiMi12Al§7-2等截面杆件的刚度方程§7-2等截面杆件的刚度方程■载常数：荷载作用下的固端弯矩和固端剪力。2．由荷载求固端弯矩■三种基本杆件（1）两端固定的梁；（2）一端固定、另一端简支的梁；（3）一端固定、另一端滑动支承的梁。§7-2等截面杆件的刚度方程§7-2等截面杆件的刚度方程§7-2等截面杆件的刚度方程如果等截面杆件既有已知荷载作用，又有已知的端点位移，根据叠加原理，杆端弯矩及剪力为：FF426246ABABABBAABBAMiiiMlMiiiMlQQFQ2FQ266126612ABBAABABBAABiiiFFllliiiFFlll■如果刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移，这种刚架叫做无侧移刚架。解（1）基本未知量——B杆端弯矩计算式为：（2）固端弯矩为：FF20615kNm8ABBAMM39BCBMi§7–3无侧移刚架的计算■连续梁的计算也属于无侧移问题。例2269kNm8BCFMAB杆BC杆AB杆215415ABBBABMiMiBC杆§7-3无侧移刚架的计算（4）求出基本未知量：（5）求出各杆最终杆端弯矩：（3）建立位移法基本方程位移法的基本方程：6215716.72kNmABMii0,0BBABCMMM760Bi67Bi列B点力矩平衡方程：6415711.57kNmBAMii639711.57kNmBCMii§7-3无侧移刚架的计算小结：位移法的基本作法是先拆散，后组装。组装的原则有二：首先，在结点处各个杆件的变形要协调一致；其次，装配好的结点要满足平衡条件。（6）作弯矩图。§7-3无侧移刚架的计算解（2）固端弯矩为：例7-1作图示刚架弯矩图。22F22FF20440kNm88205121241.7kNm41.7kNmBABCCBqlMqlMMB、C（1）基本未知量§7-3无侧移刚架的计算各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则000004541,1,14543331,4462BABCCDBECFEIEIEIiiiEIEIii§7-3无侧移刚架的计算杆端弯矩计算式为：FFF3340424241.7242441.73343,21.542,2BABABABBBCBCBBCCBCBCCBBCBBCCCBBCCDCDCCBEBEBBEBBEBBCFCFCCFCCFCCMiMMiiMMiiMMiMiMiMiMi§7-3无侧移刚架的计算（3）建立位移法基本方程结点C力矩平衡：结点B力矩平衡：（4）求出基本未知量0BABCBEMMM1021.70BC0CBCDCFMMM2941.70BC1.15,4.89BC（5）求出各杆最终杆端弯矩：31.154043.5kN.m41.1524.8941.746.9kN.mBABCMM§7-3无侧移刚架的计算（6）作弯矩图。1.51.151.73kN.m24.899.78kN.m4.89kN.mEBCFFCMMM21.1544.8941.724.5kN.m34.8914.7kN.m31.153.4kN.mCBCDBEMMM■刚架分为无侧移和有侧移两类。■有侧移刚架除有结点转角外，还有结点线位移。§7–4有侧移刚架的计算1基本未知量的选取■计算有侧移刚架的基本思路与无侧移相同，具体做法上增加了一些新内容：（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的方程。结点角位移：刚结点、刚绞结点的刚结点部分。结点线位移：位移法中忽略轴力对变形的影响。§7-4有侧移刚架的计算观察法如何确定独立线位移？只有一个线位移，全部未知量有三个只有一个线位移，全部未知量有一个有两个线位移，全部未知量有两个§7-4有侧移刚架的计算铰结体系法原结构的独立结点线位移的数目=铰结体系的自由度数=为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数。§7-4有侧移刚架的计算小结：1、用位移法计算有侧移刚架时，基本未知量包括结点转角和独立结点线位移。2、结点转角的数目等于刚结点的数目，独立结点线位移的数目等于铰结体系的自由度的数目。3、在选取基本未知量时，由于既保证了刚结点处各杆杆端转角彼此相等，又保证了各杆杆端距离保持不变，满足变形连续条件。§7-4有侧移刚架的计算（2）杆端弯矩：（1）基本未知量212634412ABBMii2基本方程的建立B、214634412BABMii32BCBMi34DCMi§7-4有侧移刚架的计算（3）建立基本方程：0,0BBABCMMM101.540BiiQQ0,0xBACDFFFQ10,()64ABAABBAMFMMQ10,4DBADCMFM1()604ABBADCMMM1.50.937560Bii§7-4有侧移刚架的计算小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。基本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。平衡方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部基本未知量。（4）解方程组得（6）作弯矩图（略）101.540Bii1.50.937560BiiB=0.737/i=7.58/i（5）各杆最终杆端弯矩（略）§7-4有侧移刚架的计算例7-2作图示刚架弯矩图。忽略横梁的轴向变形。解:（1）基本未知量：各柱顶水平位移相等，只有一个独立线位移Δ。（2）各柱的杆端弯矩和剪力为：111222333EIihEIihEIih1Q12Q222Q323333ABCDEFFihFihFih112233333BADCFEMihMihMih§7-4有侧移刚架的计算与横梁水平位移对应，取柱顶以上横梁为隔离体（3）建立位移法基本方程：PQQQEF0BACDFFFF312P22212330iiiFhhhPP312222212333FFiiiihhhh列出水平投影方程：0X§7-4有侧移刚架的计算（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图：221221PP22323P2BADCFEiihhMFMFiihhihMFih§7-4有侧移刚架的计算（6）讨论侧移刚度（5）各柱的剪力为：223122231QAPQPQP222333,,333BCDEFiiihhhFFFFFFiiihhh2333(1,2,3)iiiiiiEIkihh312QAPQPQP,,BCDEFkkkFFFFFFkkk荷载FP（=总剪力）按侧移刚度分配给各柱，得各柱剪力，可画弯矩图。----剪力分配法§7-4有侧移刚架的计算例7-3作图示刚架内力图。解（2）固端弯矩各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则22FF20541.7kNm41.7kNm1212BCCBqlMM000004541,1,1,4543331,4462BABCCDBECFEIEIEIiiiEIEIii（1）基本未知量刚结点B、C的转角B、C柱顶的水平位移。22F20440kNm88BAqlM§7-4有侧移刚架的计算杆端弯矩计算式为：F3340BABABABBMiM33CDCDCCMiF424241.7BCBCBBCCBCBCMiiMF242441.7CBBCBBCCCBBCMiiM4631.125BEBEBEBBEBiMil1.51.125EBBM20.5CFCM0.5FCCM§7-4有侧移刚架的计算结点C力矩平衡：结点B力矩平衡：00BBABCBEMMMM1021.1251.70BC00CCBCDCFMMMM290.541.70BC（3）建立位移法基本方程§7-4有侧移刚架的计算（4）解方程组得QQ0,0xBECFFFFQ10,()4EBEEBBEMFMM