泄洪设施修建计划-最终数学建模。

122001100年年江江西西省省首首届届研研究究生生数数学学建建模模竞竞赛赛题目泄洪设施修建计划摘要该问题主要讨论了泄洪设施修建计划问题。对问题一，首先根据四条天然河道近几年的可泄洪量数据用曲线拟合的方法，模拟出四条天然河道在2010年到2014年的排洪总量，然后将挖排洪沟决策变量假设为0-1变量，建立0-1规划模型；对问题二，依据最小费用原则，考虑进入各村的排洪沟承载能力与各村自身的泄洪量之和应小于从该村出去的各排洪沟承载之和为约束条件建立规划模型；对问题三，主要应用其Markov链的性质及转移概率矩阵的相关知识建立模型，给出了等概率和非等概率两种模型，同时给出了唯一性和稳定性的理论分析。对问题四，建立模型的主要思路是所修的线路不一定是村庄与村庄的连线。问题一结论为：挖沟的方案为，第一年开挖第1、2、4、6号四条排洪沟，第二年开挖第3号排水沟，第三年开挖第7号排洪沟。计算所得最少费用为170万元。问题二结论为：开挖河道的方案为：⑥-⑤,②-⑦,①-③,⑨-⑦，③-⑦,⑦-⑧,④-⑤，⑤-⑧，⑩-⑧，计算所得最少费用为571.227万元。问题三结论为：留宿的概率分布是稳定的，等概率的稳定概率分布为：0.05560.05560.11110.05560.16670.05560.22220.16670.05560.0556（，，，，，，，，，）非等概率的稳定概率分布的一种分布为：=0.29640.01320.34360.00170.05590.02040.14110.04130.07960.0066，，，，，，，，，问题四结论为：开挖河道的方案为：①-③，②-M，③-M，M-⑦，⑥-⑤，⑨-⑦，⑦-⑧，④-⑤，⑤-⑧，⑩-⑧.（M为节点）计算所得费用为559.50万元。关键字0-1规划Markov链转移矩阵曲线拟合参赛队号033参赛密码（由组委会填写）2泄洪设施修建计划摘要该问题主要讨论了泄洪设施修建计划问题。对问题一，首先根据四条天然河道近几年的可泄洪量数据用曲线拟合的方法，模拟出四条天然河道在2010年到2014年五年的排洪总量，然后将挖排洪沟决策变量假设为0-1变量，建立0-1规划模型；对问题二，依据最小费用原则，考虑进入各村的排洪沟承载能力与各村自身的泄洪量之和应小于从该村出去的各排洪沟承载之和为约束建立规划模型；对问题三，主要应用其Markov链的性质及转移概率矩阵的相关知识建立模型，本文对问题三给出了等概率和非等概率两种模型，同时给出了最后所得结果的唯一性和稳定性的理论分析。对问题四，建立模型的主要思路是所修的线路不一定是村庄与村庄的连线。本文建立的所有模型都是基于MATLAB软件和lingo软件进行计算求解，计算结果为：问题1结论为：挖沟的方案为，第一年开挖第1、2、4、6号四条排洪沟，第二年开挖第3号排水沟，第三年开挖第7号排洪沟。计算所得最少费用为170万元。问题2结论为：开挖河道的方案为：⑥-⑤,②-⑦,①-③,⑨-⑦，③-⑦,⑦-⑧,④-⑤，⑤-⑧，⑩-⑧，计算所得最少费用为571.227万元。问题3结论为：留宿的概率分布是稳定的，等概率的稳定概率分布为：0.05560.05560.11110.05560.16670.05560.22220.16670.05560.0556（，，，，，，，，，）非等概率的稳定概率分布的一种分布为：=0.29640.01320.34360.00170.05590.02040.14110.04130.07960.0066，，，，，，，，，问题4结论为：开挖河道的方案为：①-③，②-M，③-M，M-⑦，⑥-⑤，⑨-⑦，⑦-⑧，④-⑤，⑤-⑧，⑩-⑧.(M为计算出来的节点)计算所得费用为559.50万元。关键字0-1规划Markov链转移矩阵曲线拟合3问题重述泄洪设施修建计划位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。2010年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为LQP51.066.0（万元），其中Q表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L表示泄洪河道的长度（公里）。请你们通过数学建模方法，解决以下问题：问题1：该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。在表1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见表2，而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。4表1现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（万立方米/小时）年份编号2001200220032004200520062007200820091号32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号46.232.626.723.020.018.917.516.3表2开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）编号12345678开挖费用57546553当年泄洪量2536321531282212问题2：该乡共有10个村,分别标记为①—⑩，下图给出了它们大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩5其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后，再经村⑧引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。表3各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）234567891012345678985912141216172291517811181422791171212173171071518810615159148168611111110请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A→村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）问题3：新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？问题4：你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？说明：1、以上问题必须建立一般的数学模型，不能仅按照题目中提供的数据计算一个结果。2、建模过程中，可自行提出合理的模型假设。61问题一1.1基本假设(1)排洪道未修完，假设其泄洪能力为0，且排洪道泄洪能力设计为100万立方米/小时。(2）修完的排洪道排洪能力不考虑随年份变化（衰减），即第4、5年排洪道泄洪能力都为100万立方米/小时。1.2符号说明ijx表示第i年开挖第j条排洪沟，其中1ij0ijijx第年开挖第条排水沟第年不开挖第条排水沟jc表示开挖第j条沟的费用jq表示第j条沟的泄洪能力iQ表示第i年排洪要求1iQ表示第i年四条天然河道的排洪量总量()Li表示第i年修的泄洪道的长度为()Li公里1.3模型的分析及建立对问题一的模型的建立主要分为以下几个步骤：（1）根据已知数据对四条天然河道在2009年后五年内的排水量进行曲线拟合来预测2010-2014年四条天然河道泄洪能力，对这四条天然河道分别用一次多项式拟合、指数拟合、…….对天然河道泄洪能力的预测结果见表4。表4天然河道泄洪能力的预测结果表年份201020112012201320141号21.44720.24619.04417.84216.6412号1.43971.06620.78960.58470.4333号9.13067.04564.96062.87560.79064号15.08313.83612.5211.0999.541总和47.100942.1933637.3135432.4018827.40513（2）计算得出三年内修完泄洪河道的总费用M=139万元7（3）建立目标函数380.5111min(0.66())ijjijPxcQLi80.51131310.66()60;(1.1)()20;(1.2)1;(j=1,2,3,4,5,6,7,8)jijjiijiQLicxLix（其中[]表示取整）(4)约束条件811111882112211(1.3);(1.4)0.9;jjjjjjjjjQxqQQxqxqQ888231123311188832411234111(1.5)0.90.9(1.6)0.90.90.9100;(1jjjjjjjjjjjjjjjjjjQxqxqxqQQxqxqxqQ888432511235111.7)0.90.90.9100;(1.8)jjjjjjjjjQxqxqxqQ其中(1.1)式表示第i年修泄洪道的费用（取整）与第ｉ年用来挖排洪沟的费用之和应小于每年最多可提供的60万元；(1.2)式表示三年内修的泄洪道总长要达到20公里；(1.3)式表示三年内第j条排洪沟最多只能被挖一次；(1.4)式表示第一年挖排洪沟的排洪量8111jjjxq与天然河道排洪量的总和不小于第一年所要求的最小排洪量1Q；(1.5)式表示第二年新挖的排洪沟的排洪量821jjjxq，第一年已挖的排洪沟在第二年具有的排洪量8110.9jjjxq，天然河道在第二年具有的排洪量21Q，这三个排洪量的总和应不小于第二年所要求的最小排洪量2Q，同理有(1.6)式；8(1.7)-(1.8)式表示泄洪河道与天然河道及三年内已挖的排洪沟一起进行排洪，它们排洪量的总和应不小于每年所要求的排洪量；该模型是在满足以上约束条件的情况下，计算其最小费用P。1.4模型求解该模型主要是用MATLAB软件及lingo软件进行数值求解。程序见附录，在程序运行结果如下：111x，121x，141x，161x，231x，371x其中ijx表示表示第i年开挖第j条排洪沟，即在第一年开挖1、2、4、6号四条排洪沟，第二年开挖3号排水沟，第三年开挖7号排洪沟。在确定了所要挖的排洪沟之后，所需的总费用123467139575455139170Pcccccc万元即在保证排洪量满足要求的前提下，根据建立的费用最小模型最后得到的结论是最少费用为170万元。2问题二2.1基本假设(1)所修泄洪河道洪水流向为自西向东；(2)允许泄洪河道相互交叉，若有交叉，在实际应用上，泄洪量可由闸门控制。2.2符号说明ijQ为ij第个村庄第个村