北京大学量子力学课件-第17讲

第十七讲第十七讲Ⅰ.关于氢原子解的讨论Ⅰ.关于氢原子解的讨论A.氢原子能谱的简并度为22n8eE1lnnr200na8r1nn10221212nlnnnn)n()l(d且宇称可不同。0lB.径向位置几率分布由波函数可得的几率为drrr由波函数可得的几率为drrr222Ω2lm2nl2nlΩdYRdrrdrPdrrR22nl无节点drrRnl10l)0(，无节点；，无节点1n0l)0n(r2n1l)0n(r，无节点2n1l)0n(r有一个节点0l)1n(r1nl1),2l2,n(Fr0nar1n0na1n1nnerR0nar2n2eArP20n21nneArP20maxnarC.几率密度随角度的变化：2lm22nlmdYdrrud0lmnlm)(在方向的单位立体角中，发现粒子的几率为),(几率为2m2)]()[)!ml(1l2)(2ml2lmlm)](cosP)[)!ml()!ml(41l2Y)(w1l2)0(cosP1l2YY)(wlllm*lmllm4)0(cosP4YY)(wllmlmlmlmlmD.电流分布和磁矩（电流的几率分布）根据几率流密度矢根据几率流密度矢i**)uuuu(m2ij*nlmnlmnlm*nlm1eeeφθrφθsinreθrereφθr电流密度矢为（几率电流密度矢）。其分量jeJ其分量（由于是实函数）0ejJrrnlR（由于是实函数）0ejJ)θ(cosPml)uφθsinr1uuφθsinr1u(μ2ieejJ*nlmnlmnlm*nlmφφφθsinrφθsinrμ22em2nlmusinrem几率电流密度矢仅在方向上有，且大小对对称e对对称。有磁矩mm2eMBz焦耳/忒斯拉称为玻尔磁子224B102739e焦耳/忒斯拉，称为玻尔磁子由于电子空间运动（处于态）氢原子B10273.92u由于电子空间运动（处于态），氢原子的磁矩是量子化的nlmu的磁矩是量子化的lzgeMlzg2L称为轨道回磁比。如取为单位，。2e1gl这是电子轨道运动产生的磁矩特征。E的平均值（如氢原子处于态）sluE.的平均值（如氢原子处于态）srnlmus1s0ra]s)1l2[(4sra)1s2(rn1s2s20221s0s2其中其中drrRrr22nlss1011r22r,,1r002anr203an)1l2(r（5）类氢离子：类氢离子是核中有z个质子，外面仅有一个电子：如Be,Li,He2只要，并代，22zee220ze4a得ze2zeEeNmm20nan8EeNmm§5.2Hellmann－Feynman定理（海尔曼－费曼定理）费曼定理）若(中含有的某一参量)，)(HˆHˆHˆ是()其本征态(已归一)，本征值)(是)(un)(En)λ(u)λ(E)λ(u)λ(Hˆnnn于是有)(E))(u)(Hˆ),(u(nnn))(),((nn证：)(u)(E)(u)(Hˆ)(u)(E)(u)(Hnnn)()(E)()(Hˆ)(u)(E)(u)(E)(u)(Hˆ)(u)(Hnnnnnn所以，)(uˆ)(Hˆ))(u)(Hˆ),(u())(u)(H),(u(nnnn))(u)(E),(u())(u)(E),(u(nnnnnn))()(())()((nnnn)(uˆ)(Hˆ))(u),(u)(Hˆ())(u)(H),(u(nnnn))(u),(u)((E))(u)(Hˆ),(u(nnnnn)),()(())(),((nnnn))(u)(u)((E)(Enn)),(u)((Enn例：对类氢离子，其能级能量为4ze)r(V2例对类氢离子其能级能为r4022ez)(E200nna8)z(E试求21r,r若将z看作2r4ezHˆ222n4zez)z(Er4z0200na4z22nlm2nlmze)u4e,u(200nlm0nlmna4)r4,(2211zr220anna对球坐标lmnlnlmYRunlm222222nlmu)ze)1l(lrd1(uHˆnlm022nlmu)r4r2rdrr2(uH这时可将l看作参量λ2ˆ22r2)1l2(lHˆr2l2ze22r0nze])1ln(a8ze[)l(E30na4ll322211ze2r32302na)21l(na4)1l2(§5.3三维各向同性谐振子本征值和本征函数(1)本征值和本征函数取力学量完全集来分类能级)LLˆHˆ(2取力学量完全集来分类能级及相应的本征函数。)L,L,H(zll22l222Euurm1u)Lˆr1(nlmnlmnlm222Euurm2u)rrrr(m2其特解lmnlnlmYRulmnlnlm并令则有m2rE2并令，，，则有2rE20)R]()1l(l[)R(220)R]()([)R(222当，方程的渐近形式为0)R()R(222)()(2有渐近解22e~R令veR21l2veR2代入，得方程0v)3l2(v]2)1l(2[v2令2y则方程为y则方程为)3l2(30)y(v4)3l2()y(v]y)23l[()y(vy这即为合流超比方程，要在y＝0处有正常解则则)3l3l2(F)()y,2l,4(cF)y(v为使在无穷远处，因此要求0Rnl截断成多项式，即3l2rn43l24lnE3242,lnEr324)23N(EN其中)2(Nln2N其中ln2Nr为奇N1当给定N为偶为奇N0N1,2N,Nl为奇N21N10n为偶N2N2,1,0nr2（2）讨论：维各向同性谐振子的能级是等间距的A.三维各向同性谐振子的能级是等间距的，有最低能级3有最低能级)23N(ENB．每条能级是简并的。简并度1)2N)(1N(21gNC．当N为偶，，N4,2,0l当N为奇，。N5,3,1l所以，宇称为N)1(D.可以求得归一化的波函数1lmrrlrrnllmnY)r,l,n(Fe)r(]]!)!l[(!n!)!nl([urr222121223231212222221)m(2lNnr三维各向同性谐振子也可用2r)Hˆ,Hˆ,Hˆ(zyx三维各向同性谐振子也可用作为力学量完全集来分类。)H,H,H(zyx§5.4带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程，恒定均匀场中带电粒子运动定均匀场中带电粒子运动。（1）带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程在经典力学中，当质量为m的带有电荷为q的粒子在电磁场中的经典哈密顿量为粒子，在电磁场中的经典哈密顿量为12)t,r(q)]t,r(Aqp[m21H2其中为正则动量P其中为正则动量P因此，在量子力学中，带电粒子在外电磁场及外场中的薛定谔方程为及外场中的薛定谔方程为)(V)(]Ai[i21)r(V)t,r(q]Aqi[ti221取库仓规范，，得0APˆAAPˆVqAqPAqPˆti22222该方程有性质t22该方程有性质A.几率守恒VqAqPAqPi******2221qt22******VAqPAqPi2221VqAqPAqPti2222)PˆP(Aq)PˆPˆ(1)(i***22**)PP(Aq)PP(2t)(i)A(Pˆq)PˆPˆ(Pˆ21***2)(i*)A(Pˆq)PˆRe(Pˆ**1ti)()(从而有0jˆtt])AqPˆ([R1jˆ*规范不变性])AqP([RjeB．规范不变性在经典电动力学中，知道电磁场具有规范不在经典电动力学中，知道电磁场具有规范不变性tf,fAAA则不变tAE,AB则不变t,而在量子力学中ˆˆ21)r(V)r(q)AqPˆ(Hˆ221方程为Hˆit经变换后1)r(Vq)AqPˆ(Hˆ221Hˆi只要tqf)tr(iF只要qf)t,r(F,e)t,r(iF这即为量子力学规范不变性虽然波函数变了但所有物理可观测量保持不虽然波函数变了，但所有物理可观测量保持不变，方程的结构形式不变。由iF)(iFfqiF)t,r(iFetfqtieti)t,r(iF)t,r(iFefq)]r(Vq)AqPˆ([e21tq)](q)q(m[2iqfi1)r(Vqe)]fqi)(i(AqPˆ[mqi221Vq)AqPˆ(21Vq)AqP(m2（2）正常塞曼效应NormalZeemanEffect当氢原子类氢离子或碱金属等原子置于较当氢原子，类氢离子或碱金属等原子置于较强的外磁场中，将会发现他们的每一条标志光会现谱分裂为三条，这就是通常称的简单塞曼效应或正常塞曼效应（而原来能级分裂成单数能或正常塞曼效应。（而原来能级分裂成单数能级（2l+1）条）级（）条）由于原子很小，在实验室中，产生的磁场在原子范围内看作均匀场B原子范围内可看作一均匀场（）BB1ArB2A)xByB,zBxB,yBzB(21)A,A,A(yxxzzyzyx取方向为z方向，则2yyyB取方向为z方向，则B)0xByB(1A)0,xB,yB(2Aqq2221)r(V]P)xBqP()yBqP[(tizyx2222221)r(V)]yx(BqLˆqBPˆ[z222228221822TB10Bea~qB6202第三项TB10B4~L4z第二项h)mbW1T1Wb101357.4eh,m1029.5a(2151102当，可忽第三项。于是，不含时间的薛定谔方程可表为T1010B2不含时间的薛定谔方程可表为)r(E)r()]r(VLˆqBP[2考虑碱金属和类氢离子是有力场)r(E)r()]r(VL[z22考虑碱金属和类氢离子，是有心力场eq)r(V无磁场时，若ˆ2nlmnlnlmuEu)]r(VPˆ[22则2eBEE则m2eBEEnlnlm所以，原来是(2l+1)重简并的能级，在外磁场分裂为条各条能级的能量差为场下分裂为(2l+1)条，各条能级的能量差为