(微积分)9无穷级数

返回上页下页第一节数项级数的概念和性质一、数项级数及其敛散性定义1给定数列{un},则表达式称为一个无穷级数,简称为级数.其中un称为该级数的通项或一般项.若级数的每一项un都为常数,则称该级数为常数项级数(或数项级数),若级数,的每一项un=un(x),则称为函数项级数.1321nnnuuuuu1nnu返回上页下页nkknus1记s1=u1,s2=u1＋u2,…,sn=u1+u2+…+un=,…称sn为级数的前n项部分和,称数列{sn}为级数的部分和数列.定义2若级数的部分和数列{sn}的极限存在,且等于s,即则称级数收敛,s称为级数的和.并记为,这时也称该级数收敛于s.若部分和数列的极限不存在,就称级数发散．ssnnlim1nnu1nnus1nnu返回上页下页设a,r为非零常数，无穷级数20nnnaraararar称为等比级数(又称为几何级数),r称为级数的公比.试讨论级数的敛散性．11111nnnnrsaararaaraarrrr若，则例1解返回上页下页||1,lim,lim,.nnnnrrs当时由于从而这时级数发散11nnaarsrr||1,lim0,lim1,,1nnnnarrrrrar当由于从而因此这时级数收敛其和为返回上页下页||1,1,(),.nrrsnan当时若这时因此级数发散1,raaaa若这时级数成为显然Sn随着n为奇数或为偶数而等于a或等于零,从而Sn的极限不存在,因此级数发散。综上所述,对于等比级数,当公比r的绝对值|r|1时级数收敛,当|r|≥1时级数发散.返回上页下页1111111.(2)(3)2333nnnkkskkkkn11.(2)(3)nnn求级数的和111,(2)(3)23nnnn由于111limlim333nnnssn例3解111(2)(3)3nnn即返回上页下页性质1在一个级数中增加或删去有限个项不改变级数的敛散性,但一般会改变收敛级数的和．二、数项级数的基本性质证设在中删去第k项uk,得到新的级数1nnuu1+u2+…+uk-1+uk+1+…+uk+…则新级数的部分和sn与原级数的部分和sn关系knusknssknnn,1,1从而数列{sn}与{sn}具有相同的敛散性．返回上页下页性质2若级数收敛,C是任一常数,则级数也收敛,且1nnu1nnCu.11nnnnuCCu证设的部分和为sn,且.又设级数的部分和为sn,显然有sn′=C·sn1nnussnnlim1nnCuCssCCssnnnnnnlimlimlim11nnnnuCCsCu返回上页下页性质3若级数与都收敛,则也收敛,且1nnu1nnv)(1nnnvu)(111nnnnnnnvuvu证设与的部分和分别为An和Bn,且设1nnu1nnv21lim,limsBsAnnnn)(1nnnvu的部分和nnnkkknBAvus1)(21)(limlimssBAsnnnnn返回上页下页性质4收敛级数加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.三、数项级数收敛的必要条件若数项级数收敛于s,那么由其部分和的概念,就有un=snsn1．1nnu)(limlim1nnnnnssu依据收敛级数的定义可知sssnnnn1limlim0limnnu级数收敛的必要条件．返回上页下页定理1若级数收敛,则1nnu.0limnnu注意:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例如,级数11nn,虽然它的一般项)(01nnun,但它是发散的,因为该级数的部分和nnnnnnnnsn1111131211.,lim所以级数发散而nn返回上页下页.1ln32ln221ln1ln1发散证明级数nnnnnnn.,0lim所以该级数发散nnu例4解1)11(1lnlim1lnlimlim,nnnnnnnnnun时返回上页下页第二节正项级数及其敛散性判别法若级数中各项均为非负,即un≥0(n=1,2,…),则称该级数为正项级数．1nnu由于un=snsn1，因此有sn=sn1＋un≥sn1,即正项级数的部分和数列{sn}是一个单调增加数列．定理1正项级数1nnu它的部分和数列{sn}有界.收敛的充要条件是：返回上页下页πππ624sinsinsin1248211111112212482121nnnnns由π21sin2nnn试判定正规级数的敛散性.例1解即其部分和数列｛sn｝有界，π21sin2nnn收敛返回上页下页定理2(比较判别法)设有两个正项级数1nnu和1nnv如果存在正整数N,当n≥N时,有un≤vn,则有：.,)2(,)1(1111也发散则级数发散若级数也收敛；则级数收敛若级数nnnnnnnnvuuv证根据级数的性质,改变级数前面有限项并不改变级数的敛散性,因此,不妨设对任意自然数n都有un≤vn(n=1,2,3,…)，返回上页下页收敛。有于是也有上界数列知由不等式有界数列的必要性根据定理收敛若级数11,,,,1,)1(nnnnnnnnuABABv上面的不等式有，由与的部分和分别为与设级数nnnnnnBAvu11nnnBvvvuuuA2121..,)1(,.)2(111发散因此与已知矛盾收敛知则由收敛若采用反正法nnnnnnvuv返回上页下页.,,)3(11发散发散时则当若nnnnuv;,0)1(11具有相同的收敛性与若nnnnvu;,,0)2(11收敛收敛时则当若nnnnuv1推论则满足和若正项级数,lim11nnnnnnnvuvu返回上页下页32322321(1)1limlimlim1,111nnnnnnnnnn32113(1),2nppn而级数收敛211.(1)nnn判断级数的敛散性例4解211.(1)nnn收敛返回上页下页定理3[达朗贝尔(dAlembert定理)判别法]若对正项级数有：1nnunnnuu1lim.,,1)3(;,)lim(1)2(;,1)1(1也可能发散级数可能收敛时级数发散时或级数收敛时则当nnnuu返回上页下页11π13π32tan2limlim12tan3nnnnnnnnuu试证明正项级数收敛.π312tannnn例6证所以由比值判别法知，级数收敛.返回上页下页.1)3(;,)lim(1)2(;,1)1(,lim1时可能收敛也可能发散级数发散时或级数收敛时则当有若对正项级数nnnnnnnnuuu[]4()定理柯西Cauchy根值判别法返回上页下页判别级数的敛散性，其中x,a为正常数．1nnxalimlimnnnnxxxaaa例8解当x＞a时，，级数发散；1xa当0＜x＜a时，，级数收敛；1xa当x=a时，一般项un=1不趋于零，级数发散．返回上页下页第三节任意项级数一、交错级数432111)1(uuuuunnn其中un≥0(n=1,2,…).如果在任意项级数中,正负号相间出现,这样的任意项级数就叫做交错级数.它的一般形式为1nnu返回上页下页则级数收敛,且其和s≤u1.设交错级数满足11)1(nnnu0lim)2(nnu(1)unun+111)1(nnnu满足定理1的条件(1)和(2)的交错级数称为莱布尼茨型级数．定理1(莱布尼茨(Leibniz)判别法)返回上页下页证根据项数n是奇数或偶数分别考察sn．设n为偶数,于是sn=s2m=u1u2+u3…+u2m1u2m,将其每两项括在一起s2m=(u1u2)+(u3u4)+…+(u2m1u2m)．每个括号内的值都是非负的.如果把每个括号看成是一项,这就是一个正项级数的前m项部分和.显然,它是随着m的增加而单调增加的．如果把部分和s2m改写为s2m=u1（u2u3)…(u2m2u2m1)u2m,返回上页下页s2m≤u1,即部分和数列有界．ssmm2lim当n为奇数时把部分和写为sn=s2m+1=s2m+u2m+1,susssmmmmmnn)(limlimlim12212说明,不管n为奇数还是偶数,都有ssnnlim故交错级数收敛．由于s2m≤u1,而,因此根据极限的保号性可知,有s≤u1．ssnnlim返回上页下页111(1).nnn判定级数的敛散性11111,,limlim0.1nnnnnnuuuunnnn且111(1).nnn由莱布尼茨判别法知收敛例1解这是一个交错级数，返回上页下页11(1).2nnnn试判定交错级数的敛散性111,22nnnnnnuu因为111110(1,2,3,),222nnnnnnnnuun而例2解1(1,2,3,),nnuun即limlim02nnnnnu又11(1).2nnnn所以收敛返回上页下页二、任意项级数及其敛散性判别法1定义.,||,111条件收敛则称级数发散而级数收敛如果级数nnnnnnuuu,,||11绝对收敛则称级数收敛如果级数nnnnuu返回上页下页证因为un≤|un|,所以0≤|un|＋un≤2|un|．已知收敛,由正项级数的比较判别法知,收敛，1nnu1)(nnnuu从而收敛．11])[nnnnnnuuuu2定理.,11收敛则收敛若nnnnuu返回上页下页1(1)(0)nnnxxn判别级数的收敛性.例41limlim.1nnnnuxnxun解(1),nnnxun记则当x＜1时，绝对收敛；1(1)nnnxn当x＞1时，发散；1(1)nnnxn当x=1时，条件收敛．1(1)nnnxn返回上页下页第四节幂级数一、函数项级数由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数就称为函数项级数．)()()()(211xuxuxuxunnn若令x取定义区间中某一确定值x0,则得到一个数项级数)()()()(0020110xuxuxuxunnn返回上页下页)()()()(0020110xuxuxuxunnn若数项级数收敛,则称点x0为函数项级数的一个收敛点.反之,若数项级数发散,则称点x0为函数项级数的发散点.收敛点的全体构成的集合,称为函数项级数的收敛域.1)(nnxu1)(nnxu返回上页下页)()()()()(00201100xuxuxuxuxsnnn若x0是收敛域内的一个值,则必有一个和s(x0)与之对应,即)()()()()(211xuxuxuxuxsnnn当x0在收敛域内变动时,由对应关系,就得到一个定义在收敛域上的函数s(x),使这个函数s(x)