灰色理论基础(自己总结)

灰色理论在灰色理论中，通常用GM（n,m）来表示灰色模型，其中，n为差分次数，m为变量的个数。对于沉降的预测，工程研究人员一般采用GM（1,1）来进行预测。等时距GM（1,1）模型等时距GM（1,1）模型是最常用的一种灰色预测模型，也是非等时距GM（1,1）模型的建模基础。设观测到的原始等时距数据序列为：[0](0)(0)(0)(0)(1),(2),,(),,()Xxxxkxn其中，(0)()xk为kt时刻对应的初始数值，时间步长1iittc为常数，1,2,3in。对[0]X中的数据经过一次累加（1-AGO）运算，得到光滑的生成数列：[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,()Xxxxkxn其中，(1)(0)1()()kkiixtxt，1,2,3kn。[1]X的均值数据序列[1]Z可以表示为：[1](1)(1)(1)(1)(1),(2),,(),,(1)Zzzzkzn其中，(1)(1)(1)()1/2()(1)zkxkxk。(1)()xk的GM（1,1）模型白化形式的微分方程可表示为：(1)(1)()(),[0,)dxtaxtbtdt（1）其中，a，b为待定参数，可以由式（1）离散化后求得，式（1）在区间[,1]kk离散后的方程为：(0)(1)(1)()xkazkb（2）离散的过程：式（1）在区间[,1]kk上积分，有：111(1)(1)()()kkkkkkdxtaxtdtbdt1(1)(1)(1)(0)()(1)()(1)kkdxtxkxkxk1(1)(1)(1)(1)1()[(1)()]()2kkxtdtxkxkzk所以，式（1）离散后的方程为式（2）。利用最小二乘法可以从式（2）中求得参数a和b：(0)(1)(0)(1)(1)()(1)=-()xkazkbxkazkbYBa式中，(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1),1(2)(2),1(3),Y=,,1(1),1()zxazxBabznxn所以，1()TTaaBBBYb。把求得的参数代入式（1）中，可以得到白化方程的解为：(1)1()/atxtceba当t=1时，(1)(1)(0)(1)(1)(1)()=(1)(1)()=((1)/)/atxtxxxtxbaeba所以GM（1,1）模型的时间相应数据序列为：(1)(0)(1)=((1)/)/akxkxbaeba，k=1,2,3….n。还原到初始数据为：(0)(1)(1)(0)(1)=(1)()(1)[(1)/]aakxkxkxkexbae，k=1,2,3….n。预测精度分析及检验根据GM（1,1）模型计算得到的预测值是否可靠，必须通过一定的检验手段和评价标准进行验证，常采用关联度分析或后验差检验来保证预测的可靠性，这里主要介绍后一种检验方法。后验差检验方法是根据残差的均方差2S和原始数据的均方差1S的比值来判断的。原始数据序列为(0)()xk，预测数据序列为(0)()xk，其残差为：(0)(0)()()()kxkxk^^(0)2(0)11111[()]()1nnkkSxkxxxknn^^221111[()]()1nnkkSkknn后残差比值为21/CSS小误差概率为：^1()0.6745pPkS模型预测精度指标预测精度好合格勉强不合格P0.950.95~0.800.80~0.700.7C0.350.35~0.500.50~0.650.65对[1]X可以建立GM（1,1）模型的条件：光滑比：(0)(1)()()/(1)kxkxk级比：(1)(1)()()/(1)kxkxk当[1]3()0.5()()(1,1.5]kkkX，说明原始数据光滑，(说明满足准指数规律)，可以对[1]X可以建立GM（1,1）。非等时距GM（1,1）模型当时间步长1iittc（常数）时，原始数据序列为非等时距数据序列，在实际工程中得到的原始数据往往属于这一类型的数据。因此必须将非等时距数据序列转化为等时距序列，在利用建立等时距GM（1,1）模型的方法建立非等时距GM（1,1）模型。利用三次样条插值法（cubicsplineinterpolationmethod）将非等时距数据序列转化为等时距数据序列，在按照等时距GM（1,1）模型进行预测。三次样条插值法用Matlab实现的代码及实例代码：pp=csape(x,y,’conds’,’valconds’)x,y为初始数据序列conds为初始边界条件：1.边界为一阶导数，用complete表示，其值在valconds中给出；2.边界为二阶导数，用second表示，其值在valconds中给出，缺省时为[0,0]；3.非扭结条件，用not-a-knot表示；4.周期条件，用periodic表示一般选用前两种。实例：Clear;x=[1,2,4,5];y=[1,3,4,2];pp=csape(x,y,’complete’,[-1,3]);xx=1:0.1:5;yy=ppval(pp,xx);plot(xx,yy).等时距GM（1,1）模型用Matlab实现的程序代码：y=input(‘请输入原始数据序列’);n=length(y);%原始数据序列的维数yy=ones(n,1);%列向量，用来给变量申请内存yy(1)=y(1);fori=2:nyy(i)=yy(i-1)+y(i);end%yy为1-AGO累加后生成的数列%接下来求B向量B=ones(n-1,2);Fori=1:n-1B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2;%B矩阵的第一列元素B(i,2)=1;%B矩阵的第二列元素endBT=B’;%B的转置矩阵%接下来求Y矩阵Forj=1:n-1YN(j)=y(j+1);%此处所求的YN矩阵为行向量endYN=YN’;A=inv(BT*B)*BT*YN;%A为2维列向量a=A(1);b=A(2);t=b/a;%灰色模型的预测数据t-test=input(‘请输入需要预测的个数’)；fori=1:n+t-test;yys(1)=y(1);yys(i+1)=(y(1)-t)*exp(-a*i)+t;end%还原到原始数据Forj=n+t-test:-1:2ys(j)=yys(j)-yys(j-1);endx=1:n;xn=2:t-test+n;yn=ys(2:n+t-test);plot(x,y,’r’,xn,yn,’b’)