谈含双量词的数学问题中参数范围的求解

-1-小小量词全无烦恼------谈含双量词的数学问题中参数范围的求解246740安徽省枞阳县会宫中学朱贤良E-MAIL:[e-mail]我们知道，含量词的数学问题不仅考查到逻辑推理知识，还涉及到相关的数学知识和重要的数学思想方法.而求解含两个量词的数学问题比求解单量词的数学问题更为复杂，是考查考生对所学数学知识掌握理解水平与数学思维能力的一种重要题型，在高考与竞赛中屡见不鲜.本文拟在对含单个量词的数学问题理解的基础上，以含两个量词的数学问题为研究对象，归纳总结出含双量词的数学问题中参数范围的求解方法.笔者将含有两个量词的数学命题归结为三种类型：含双全称量词的“任意-任意”型、含一个全称量词与一个存在量词的“任意-存在”型、含双存在量词的“存在-存在”型.现将对这三种类型数学问题的理解及参数范围的求法分述如下：1“任意-任意”型这类问题的表现形式为：1122,xDxD，不等式成立.例1（2008天津）已知函数0xbxaxxf，其中Rba,.若对于任意的2,21a，不等式10xf在1,41上恒成立，求b的取值范围.思路一：先看成关于x的不等式恒成立，再看成关于a的不等式恒成立,逐步确定主元．由题知2()1afxx．当0a时，令()0fx，解得xa．列表：x(,)aa(,0)a(0,)aa(),a()fx＋0－－0＋()fx↗极大值↘↘极小值↗故()fx在1[,1]4上的最大值为1()4f与(1)f的较大者.由题意,对于任意的1[,2]2a，不等式0(1)fx在1[,1]4上恒成立，当且仅当max()10fx,即10(11(4)10)ff，即39449abab对任意的1[,2]2a成立．从而得74b，所以满足条件的b的取值范围是(7,]4．思路二：分离双主元a与x，再转化为两个独立函数的最值大小问题，一步到位．-2-由题意,任意的1[,2]2a，不等式10axbx在1[,1]4上恒成立22maxmin11,2,,1,(10)2411,2,,1,[(10)]24axaxbxaxaxbx即1102716442110bbb．总结：求解多元变量的不等式恒成立问题，通常可以利用逐步确定主元的策略．在本例中，涉及到的变量有三个，固定a与b，先解决关于x的不等式恒成立问题，进而求解关于a的不等式恒成立问题，是为思路一．一般地，若双主元易于分离，可分离之，则问题演变为“112212,,()()xDxDfxgx”，等价于“1122,xDxD时，1max2min()()fxgx”，从而实现一步到位，是为思路二．2“任意-存在”型这类问题的表现形式有二：1122,xDxD，等式成立；1122,xDxD，不等式成立.例2（1）已知24(),(0,2)1xfxxx；设0a，(),(0,2)gxaxax．若对任意1(0,2)x，总存在2(0,2)x，使12()()fxgx，求实数a的取值范围．（2）（2010山东）已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24gxxbx．当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.解析：（1）1(0,2)x，2(0,2)x，12()()fxgx12(0,2),(0,2)xx时，函数1()fx值域是2()gx值域的子集.先求函数1()fx的值域：1(0,2)x时，11211144()11xfxxxx，其值域为(0,2]；再求函数2()gx的值域：当0a时，22()gxaxa在(0,2)上递增，其值域为(,)aa；当0a时，22()gxaxa在(0,2)上递减，其值域为(,)aa.-3-∴题意等价于0(0,2](,)aaa或0(0,2](,)aaa(,2)(2,)a.（2）第(Ⅰ)问答案为：当0a时，()fx在(0,1)减，(1,)增；当102a时，()fx在(0,1)减，1(1,1)a增，1(1,)a减；当12a时，()fx在(0,)减.第（Ⅱ）问中，1(0,2)x，21,2x，使12()()fxgx(0,2)，21,2x时，1min2min()()fxgx.由（Ⅰ）知，11,(0,2)4ax时，1min1()(1)2fxf.又2222()24gxxbx，21,2x，①当1b时，2min()(1)52gxgb，故1522bb；②当12b时，22min()()4gxgbb，故2142bb；③当2b时，2min()(2)84gxgb，故1178428bb.综上，178b.总结：这两题中，12,xx都是主元，这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：①112212,,()()xDxDfxgx1122()()fxDgxD在上的值域在上的值域；②112212,,()()xDxDfxgx1122()()fxDgxD在上的最小值在上的最小值；③112212,,()()xDxDfxgx1122()()fxDgxD在上的最大值在上的最大值.读者可以小试下例：例3（1）（2008天津）设1a，若对于任意的2xaa，，都有2yaa，满足方程loglog3aaxy，这时a的取值的集合为（）A．12aa≤B．2aa≥C．23aa≤≤D．23，（答案:由题意,32,2,,,axaayaayx．32,2,axaayaax即时，的值域是的一个子集222,,2.2aaaaa即）-4-（2）设1a，若对于,2,,2xaayaa满足loglog3aaxy,这时a的取值范围为.（答案:由题意,3,2,,2,axaayaayx．32,2,[,]axaayaax即时，的最大值小于y的最大值，即2212.aaa）3“存在-存在”型这类问题的表现形式也有两种：1122,xDxD，等式成立；1122,xDxD，不等式成立.例4（1）若实数0m，存在121,22,1,1xx满足方程21281xmx，这时m的取值范围为.（2）若实数0m，存在121,22,1,1xx满足不等式21281xmx，这时m的取值范围为.解析:（1）记函数2111()8,1,22fxxx，222()11,1,gxxmx.则题意中，121,22,1,1xx，12()()fxgx121,22,1,1xx时，函数1()fx值域与2()gx值域的交集非空.即0[3,4][1,1]mmm或0[3,4][1,1]mmm，即013mm或013mm22mm或.（2）题意中，121,22,1,1xx，12()()fxgx121,22,1,1xx时，函数1min2max()()fxgx.即031mm或031mm22mm或.总结：本例中这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略可总结为：112212,,()()xDxDfxgx1122()()fxDgxD在上值域与在上值域的交集非空；112212,,()()xDxDfxgx1122()()fxDgxD在上的最大值在上的最小值.通过对以上四例的求解与总结，我们可以感悟到在求解含双量词数学问题中参数范围时，关键要根据两个量词的性质和问题中等式、不等式的特征，借助函数、方程及逻辑等方面知识将问题灵活准确地转化.这种转化包括将含双量词的数学问题转化为函数单调性、最值与值域问题，以及将含双量词的数学问题分两步转化为只含单量词的数学问题.-5-数学问题是数学知识最有效的载体，通过对含双量词的数学问题的研究，不仅能有效地提高我们对相关数学知识与函数方程、转化化归等数学思想的认识，更能深层次地提升我们的数学思维能力，特别是逻辑推理能力.从这个意义上说，小小量词，全无烦恼；若不止于此，或许还能引领我们迈向更高更美妙的数学境界.作者概况：朱贤良，男，1981年12月生，安徽枞阳人．中学一级教师，任教于安徽省级示范高中枞阳县会宫中学．主要从事中学数学教学研究、高考试题研究与初等数学研究等，近两年在《中学数学教学参考》、《数学通讯》、《中小学数学》、《中学数学教学》等杂志发表论文十余篇．通讯地址：246740安徽省枞阳县会宫中学E-MAIL:[e-mail]:326516975