抛物型方程的差分方法

非线性动力学数值方法第二章抛物型方程的差分方法2.1定解问题的离散2.1定解问题的离散一维热传导方程为：或对这样一个问题的求解，分为以下三个步骤来离散。0(,0)()txxLuuuuxx01,0xtT220uuLutx（1）在x-t平面上，取和分别为函数的自变量x和t的改变量，由（j=0,1,…N,h=,n=0,1,…M,）两组平行线构成的矩形网格覆盖x-t平面。h为空间步长，为时间步长。txnj（j-1,n）（j,n）（j+1,n）（j,n+1）（j,n-1）hxt(,)uxt1NTM2.1.1定解区域的离散X方向节点编号T方向节点编号定义：网格节点上的值：半网格节点上的值：网格节点上的函数值简记为u(j,n)。,0,1,,jxjhjN1/21,0,1,,12ntnnM1/21,0,1,,12jxjhjN,0,1,,ntnnM(,)jnuxt在有限差分离散化时应该注意以下几点：①根据问题求解的需要，在x，t方向上离散网格时和可以是等分，也可以是不等分，既可以按一定规律来离散，也可以对网格进行局部加密。！！！！②对于双曲型和抛物型等发展方程在有限差分离散化时，网格的和不能随意选取，需要满足一定的条件，如稳定性的CFL条件等。！！！！③为了保证边界上的计算精度，在网格边界外可设置若干虚拟网络，以保证差分格式在边界处的计算精度和内点精度保持一致。！！！！④有限差分离散网格一般选取四边形网格，对于复杂物体外形问题，也可以选择三角形网格或其他形状网格。近年来，发展了一种无结构网格和无网格的有限差分算法，它们的计算网格就更为复杂。txtxxt⑤对于复杂外形飞行器流场的计算，一般需要通过坐标变换，可以把物理平面上的复杂的、非正交的网格转换成在计算平面上的简单、而正交的网格，这就是网格生成技术。特别要指出的是，网格生成技术在网格设计和编程中往往占有很大的工作量，网格生成技术好坏直接影响到数值计算结果的精度，网格生成技术已成为计算流体力学中的一个重要分支。节点(j,n+1)的函数值在(j,n)点作泰勒展开：2.1.2控制方程的离散2233232,(,)(,)(,)(,1)(,)2!3!12tttjnujnujnujnujnujntttuuu（2）2,1(,1)2tttjnujnuuu（3）同理，对于节点(j,n-1)有：由（2）得：其中表示一次和一次以上的小量项．22(,)(,1)(,)(,)2ujnujnujnujntt()O22(,)(,)(,1)(,)2ujnujnujnujntt224224(,1)2(,)(,1)2(,)(,)4!ujnujnujnujnujntt（4）（5）（6）（4）－（5）得：由（3）得：224224(1,)2(,)(1,)2(,)(,)4!ujnujnujnhujnujnxhx（7）同理：下面引入几个概念：（1）向前差分（forwarddifference）（2）向后差分(backwarddifference)1nnjjnhjuuuh1nnjjnjuuu1nnjjnhjuuuh1nnjjnjuuu(forwardspacedifference)(forwardtimedifference)(backwardspacedifference)(backwardtimedifference)（3）一阶中心差分（centraldifference）1122nnjjnhjuuuh1122nnjjnjuuu1122nnjjnhjuuuh1122nnjjnjuuu11222nnnjjjnhjuuuuh2222224nnnjjjnhjuuuuh11222nnnjjjnjuuuu（４）二阶中心差分（centraldifference）1）格式I显示格式(FTCS格式)由（4）、（7）代入（1），有式中：称为截断误差（Truncationerror），它不仅反映了差分算子对微分算子的逼近，也反映了差分解和方程解的误差。截断误差的阶数：就是截断误差中最低阶导数项中或h的幂次数。（此截断误差，时间1阶，空间2阶）！！！！22224224(,)(,)(,1)(,)(1,)2(,)(1,)2(,)(,)24!0ujnLuujntxujnujnujnujnujnuhjnujnhtx,nnnhjjjLuLuR2422422(,)(,)()4!2njhRujnujnOhxt（8）用表示u(j,n）的近似值；用差商近似代替式（1）中的微商后，可得相应的差分方程（通过泰勒展开法最后推出的）(9)记号：表示微分方程的解在结点处的准确值；表示差分方程的解，它是的近似值；表示微分方程左端项在结点处的准确值；表示用准确值构造差商；表示用近似值构造差商；表示差商近似微商所产生的截断误差。njunju,jn111I,220nnnnnjjjjjnhjuuuuuLuhnju(,)uxt,jnnjLunjunju,nhjLu(,)jnuxt,nhjLunjR注意：由（10）可知，当第n层u已知时，可以直接求出第n+1层上的值，故称之为显式格式。2()njROhn+1nj-1j+1j111(12)()nnnnjjjjururuu（10）2rh令，则(9)式可化为：差分格式2）格式Ⅱ（BTCS）隐式格式对时间向后差分，对空间用中心差分，得：2,0nnnhjjhjLuuu111220nnnnnjjjjjuuuuuh111(12)nnnnjjjjrururuu注意：由（12）式不能直接计算出解，而要联立求解代数方程，故称之为隐式格式。2()njROhnn-1j-1j+1j（１２）3）格式ⅢCrank—NicoLson格式（CTCS）对时间和空间都用中心差分，在点对u作泰勒展开，得：1(,)2jn231,211(,1)(())22!43!2ttttttjnujnuuuu231,211(,)(())22!43!2ttttttjnujnuuuu(13)(14)下面来求。在对点作泰勒展开：上两式相加，21(,1)(,)1,(,)2242ttttujnujnujnujn1(,)2xxujn1(,)2jnxxu2,,1,2(,1)()28xxxxxxtxxttjnujnuuu2,,1,2(,)()28xxxxxxtxxttjnujnuuu211(,),1),)()22xxxxxxujnujnujnO（（(15)(16)(17)(18)而：（19）（20）由（15）式和（18）式得（21）或：（22）22(1,1-2(,1)(1,1)(,1)()xxujnujnujnujnOhh）22(1,-2(,)(1,)(,)()xxujnujnujnujnOhh）111111-11-1III2,2222102nnnnnnnnnjjjjjjjjhjuuuuuuuuLuhh111111112(2)2nnnnnnnnjjjjjjjjruuuuuuuun+1nj-1j+1j注意：①泰勒展开点在格边上，不是在结点上，但在格式中未出现格边量。②——全二阶精度。③在点展开时，用到了周围6个结点上的量，该格式又称为六点格式。④隐式格式。⑤idea：是将微分方程中的项以在第n层和第n+1层上关于x的二阶中心差商的算术平均值来逼近，这一思想已被广泛地应用于一般微分方程，以建立其差分格式。1222()njROh1(,)2jn22ux(,)uxt注意：①——全二阶精度格式。②三层显示格式。11112(-2)nnnnnjjjjjuruuuu22()njROhn+1nj-1j+1jn-14）格式（IV）（CTCS）（Richardson格式）对时间中心差分步长放大一倍，空间也中心差分。111-1IV,2202nnnnnjjjjjnhjuuuuuLuh(23)(24)1）推广Crank—Nicolson（格式III）格式III将差分格式建立在和的中点基础上的。现进一步推广，将差分格式建立在和中间任意一点上，即，其中是一参数。按照格式III同样的方法进行差分。(,1)jn(,)jn1(,)2jn(,1)jn(,)jn(,)jn01(,1)ujn(,(1))ujn2233,11((1)(1)(1))2!3!ttttttjnuuuu(,)ujn(,)ujn2233,11=()2!3!ttttttjnuuuu上两式相减得同样，也可对作类似格式III的处理。最后（25）（26）(,1)(,)(12)(,)(,)2!tttujnujnujnujn3232(1)(,)(,)3!3!ttttttujnujn22ux11111-11-12222(1)0nnnnnnnnjjjjjjjjuuuuuuuuhh111111112(1)(2)nnnnnnnnjjjjjjjjuuruuuuuu注意：①此格式利用了在第n层和第n+1层关于的二阶中心差商的加权平均值，故称之为加权六点格式。②当=0时，该格式变为格式I;=1时，该格式变为格式II;时，该格式变为格式III;③截断误差，当时为；当时，为，故精度与有关。2)修正Richardson格式(Dufort-Frankel格式)Richardson格式：x121212R22()Oh2()Oh11112202nnnnnjjjjjuuuuuh而Dufort,Frankel给出的格式为：（27）实际上是将换为(由(2),(3)式相加可得)经过这样的修改可将完全不稳定的Richardson格式变成无条件稳定格式。注意：①截断误差：②要求时速度比的速度快，才能保证该格式步长趋向于零时，逼近热传导方程，否则为常数时，该格式逼近双曲型方程。11111122nnnnnnjjjjjjuuuuuuh1111112()nnnnnnjjjjjjuuruuuunju111()2nnnjjjuuu242222(,)()()()ttRujnOhOOhh00h/h格式名称格式表达式截断误差显式格式（格式I）隐式格式（格式II）Crank－Nicolson格式（隐式格式）220uutx小结：模型方程的若干典型差分格式2()Oh2()Oh22()Oh111(12)()nnnnjjjjururuu2/rh111111(2)nnnnnjjjjjuuruuu11111111(2)((2)2nnnnnnnnjjjjjjjjruuuuuuuuRichardson格式（显式格式）组合格式六点加权格式（显、隐与有关）当时为当时为Dufort-F