第七章-杆件的轴向拉伸与压缩

工程力学第七章轴向拉伸与压缩材料力学-基本概念材料力学：研究物体受力后的内在表现，即，变形规律和破坏特征。1材料力学的任务2变形体的性质及其基本假设3构件及杆件变形的基本形式材料力学-基本概念工程中多为梁、杆、轴结构1、材料力学的任务材料力学-基本概念各式杆状的构件：梁、轴、柱、管。材料力学-基本概念强度：杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力刚度：杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。稳定性：杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力材料力学的任务就是在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为设计构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。为保证工程结构或机械的正常工作,构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。因此因满足以下要求：材料力学-基本概念构件的抗破坏能力强度问题材料力学-基本概念刚度问题构件应有足够的抵抗变形的能力刚度对工件加工时的精度问题、构件承受动载荷时强度问题及人们心理问题等方面都有重要影响！材料力学-基本概念工程结构的强度、刚度和稳定问题材料力学-基本概念自行车结构也有强度、刚度和稳定问题材料力学-基本概念试验是材料力学的研究手段之一材料力学-基本概念刚体：假设构件在外力作用下不变形。----理力研究对象变形体：构件在外力作用下变形。---材力研究对象变形性质弹性变形Elasticity塑性变形Plasticity线弹性变形Linearelasticity非线弹性变形Nonlinearelasticity√2变形体的性质及其基本假设一、可变形固体的性质材料力学-基本概念研究任务：使构件在外力作用下能够正常工作。构件应具有足够的强度，以保证构件不会产生断裂或明显的塑性变形。强度是指构件抵抗破坏（断裂或产生明显塑性变形）的能力。构件具有足够的刚度，以保证构件工作时的弹性变形在规定的限度内。刚度是指构件抵抗变形的能力。构件应具有足够的稳定性，以使构件在工作时不产生失稳现象。失稳是指直杆从直线的平衡形式突然变为曲线的平衡形式。稳定性是指构件保持原有平衡形态的能力。材料力学-基本概念研究构件强度、刚度和稳定性时，为了计算简化，略去材料的一些次要性质，并根据与问题有关的主要因素，对变形固体作如下假设：连续性假设：构件的体积内毫无间隙地充满物质。可以对连续介质采用无穷小量的分析方法。均匀性假设：假设构件任取一部分，不论其体积大小如何，其机械性质完全相同。构件内部各部分的性质是均匀的。机械性质是指材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方面的特性。材料力学-基本概念各向同性假设：认为固体在各方面的机械性质完全相同。具有这种性质的材料为各向同性材料。如玻璃，金属等。不具有这种性质的材料为各向异性材料。如纤维织品、木材等。小变形问题：构件的变形远远小于构件的尺寸时，则这类问题为小变形问题。在研究这类问题的平衡和运动时，可不计构件变形的影响，仍按变形前的原始尺寸进行分析计算。例如：P材料力学-基本概念构件按几何形状分为杆、板、壳和块体。块体板壳直杆曲杆研究对象：直杆材料力学-基本概念内容种类外力特点变形特点轴向拉伸及压缩AxialTension剪切Shear扭转Torsion平面弯曲Bending组合变形杆件变形的基本形式§7-1轴向拉伸与压缩的概念及实例轴向拉伸与压缩的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线完全重合。一、概念轴向拉伸与压缩的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图PPPP二、工程实例桁架的支杆计算简图一、内力--物体内部某一部分与另一部分之间相互作用的力§7-2轴向拉伸或压缩时直杆横截面上的内力构件受外力作用时，在产生变形的同时，在其内部也因各部分之间相对位置的改变引起内力的改变，内力的变化量是外力引起的附加内力，这种附加内力随外力的增加而增加，当达到某一限度时，就会引起构件的破坏。这里所研究的内力为附加内力。二、截面法·轴力内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步骤：①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力所留部分而言是外力）。2.轴力——轴向拉伸与压缩杆的内力，用Ｓ表示。例如：截面法求Ｓ。0X0PSSPAＰＰＰAＳ简图AＰＰ截开：代替：平衡：①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。三、轴力图——用图形表示出轴力随截面位置的变化情况。3.轴力的正负规定:Ｓ与外法线同向,为正轴力(拉力)Ｓ与外法线反向,为负轴力(压力)Ｓ0ＳＳＳ0ＳＳＳxＰ+意义例5-1图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、F的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力Ｓ1：设置截面如图ABCDFAFBFCFDOABCDFAFBFCFDＳ１0X10ABCDSFFFF15840SFFFF12SF同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：Ｓ2=–3FＳ3=5FＳ4=F轴力图如右图Ｓ2BCDFBFCFDCDFCFDＳ3DFDＳ4FNx2F3F5FF++–轴力(图)的简便求法：自左向右:轴力图的特点：突变值=集中载荷遇到向左的F，轴力Ｓ增量为正；遇到向右的F，轴力Ｓ增量为负。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；②材料承受荷载的能力。例如用同一材料制成粗细不同的两根杆，在相同拉力下，两杆的轴力自然是相同的。但当拉力逐渐增大时，细杆必定先拉断。强度不仅与轴力的大小有关，而且与横截面面积有关，所以须用应力来度量受力程度。P1P2三、应力(Stress)1、概念：内力在截面上的分布集度△S△A3、应力单位：或真实应力：△A→0时，2PaNm2、表达式如左图。微面△Ａ上的内力之和为△F则△Ａ上的平均应力为：610MPaPa910GPaPa为点的真实应力AFpmdAdFAFpAm0limP1P2xyz4、应力分量—正应力(NormalStress)：垂直于横截面的应力。－剪应力(ShearingStress)：平行横截面的应力。与外法线同向，为正的正应力；与外法线反向，为负的正应力。p△Acos(,)ppxsin(,)ppx变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后PPd´a´c´b´二、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2.拉伸应力：N(x)P轴力引起的正应力——：在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：)()(xAxN))()(max(maxxAxN例2：解：AB段：BC段：CD段：||max=50MPa如例1若AAB=ABC=500mm2，ACD=200mm2，求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力||max。MPaANABABAB4010500102063MPaANBCBCBC2010500101063MPaANCDCDCD5010200101063三、直杆轴向拉压时斜截面上的应力A—横截面面积A—斜截面面积平面假设仍成立，斜截面原为平面，受力变形后仍为平面，其上各点平移的纵向距离相同。cosAAcoscosAPAPp分解：a).b).当当c).的正负号规定:、均为的函数；从轴线方向转到α角终边（截面外法线）逆时针（+）顺时针（）当讨论cosp2cos2sin210,,0max0002,2,45max45450000,0,9009090②设计截面尺寸：依强度准则可进行三种强度计算：保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。①校核强度：③许可载荷：§7-3失效、安全系数和强度计算1、许用应力：对不同材料确定其允许承受的最大应力值,常用符号ANmaxmaxmaxminNAANmax例5-2已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：S=F=25kN3max22442510162MPa3140014SFAπd..②应力：③强度校核：max162MPa170MPa④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。例5-3简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为F，为使BD杆最轻，角应为何值？已知BD杆的许用应力为[]。分析：xLhFABCDBDBDLAV/BBDNAsin/hLBDBD杆面积A：解：BD杆内力N：取AC为研究对象，如图YAXASBxLFABCcossin,0hLFNxFctghNmBDBDA/BDNAYAXASBxLFABC③求VBD的最小值：2/sin;[]sin2BDFLVALAhomin245,[]FLV时一、拉伸与压缩杆的变形及应变§7-4轴向拉伸与压缩时的变形拉伸变形特征：——轴向伸长，横向缩小；——轴向缩短，横向变粗；压缩纵向变形：横向变形：LLl11bbb2、线应变：单位长度上的线变形。bbll13、泊松比（或横向变形系数）实验指出：在弹性范围内，横向应变与纵向应变之比的绝对值为一常数，即泊松比μ为无因次的量，是表示材料力学性质的一个弹性常数。11或二、拉伸与压缩杆的虎克定律1、等内力拉伸与压缩杆的弹性定律※“EA”称为杆的抗拉伸与压缩刚度。E称为弹性模量，其值大小代表材料抵抗拉伸与压缩弹性变形的能力大小，是材料的重要刚度指标。PP对于拉伸与压缩杆件，当应力不超过比例极限时，杆的变形量Δl与轴力N，杆长L成正比，与杆的横截面积A成反比。AElNl将应力及线应变表达式代入，可得E或EniiiiEALNl1对于多力杆来说例1、图示阶梯杆，已知A1=8cm2，A2=4cm2，E=200Gpa，求总伸长Δl一、外力分析（已知）二、内力分析（图）三、求Δl21iiiiEALNl493310810200102001020493310410200102001040)(075.0mm例2.d1=15.3mm,L=54mm,Δl=0.04mm,E=200GPa,，试计算横截面上的正应力及横向变形量。解：μ=0.36107415404.01LL、)(2.1481074110200269MPaE、66110222107413.03、)(0034.03.1510222461'mmdd、§7-5材料在拉伸和压缩时的力学性能一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）；标准试件。dh力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。二、低碳钢试件的拉伸图(S--L图)三、低碳钢试件的应力--应变曲线(--图)AElNlEEANll(一)低碳钢拉伸的弹性阶段(oe段)1、op