点集拓扑讲义熊金城部分习题参考答案

点集拓扑讲义部分答案P73第2.1节3．设,X是一个的度量空间,证明:(1)X的每一个子集都是开集;(2)如果Y也是一个度量空间,则任何映射:fXY都是连续的.证(1)对任意的AX和任意顶的xA,取14,则,BxxA,所以A是开集.(2)设:fXY为任一映射,UTY,由(1)知,1fUTX,所以,f是连续映射.6.从殴氏平面2到实数空间的映射2,:ms定义为对任何12,xxx，1212max,,mxxxsxxx证明m和s都是连续函数。（提示：分别用2的度量1和2（参见第5题）.）证先证m是连续映射.设212,xxx是任意一点,对任意的0,对任意212,yyy,因为111221212,max,max,max,xyxyxyxxyymxmy(其中1是习题5中定义的2的度量),故,,mBxBmx,即m在2x对于2的度量1而言是连续的,由于2x是任意的,从而对于2的度量1而言连续.由习题5的结论知,m对于2的度量而言是连续的.下面再证s是连续映射.设212,xxx是任意一点,对任意的0,对任意212,yyy,因为211221212,xyxyxyxxyysxsy(其中2是习题5中定义的2的度量),故,,sBxBsx,即s在2x对于2的度量2而言是连续的,由于2x是任意的,从而对于2的度量2而言连续.由习题5的结论知,s对于2的度量而言是连续的.P73第2.2节2.对于每一个n,令nAmmn,(1)证明P=nAn是正整数集的一个拓扑;(2)写出1的所有开邻域.(1)证显然1,AP.又nAP,1,2,n.任意,nmAAP,max,nmmnAAAP,对任意的P1P，11min:nnnnATBATBAAP，因此P为的拓扑.(2)1的唯一开邻域为1A.7.设P1和P2是集合X的两个拓扑,证明P1P2也是X的一个拓扑.举例说明P1P2可以不是X的拓扑.证若P1和P2都是X的拓扑,,由于,XP1,P2,所以,XP1P2;任意,ABP1,P2,则ABP1,P2,所以ABP1P2;对任意的P'P1P2,即P'P1,P2,则'ATAP1,P2,所以'ATAP1P2.因此P1P2是X的拓扑.例,设,,Xabc,P1,,,,,,abcabc,P2,,,,,,bacabc,显然,P1,P2都是X的拓扑,P1P2,,,,,,,,,abbcacabc,因,abP1P2,,ababP1P2,因此P1P2不是X的拓扑.10.证明:(1)从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续的;(2)从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续的.证(1)设(X,P1)是任意拓扑空间,(,YP2)是平庸拓扑空间,:fXY,对任意的UP2,,UY或,所以1,fUX或,它们都属于P1,所以f连续.(2)设(X,P1)是离散拓扑空间,(,YP2)是任意拓扑空间,:fXY,对任意的UP2,11xfUfUxP1,所以f连续.(因为离散拓扑空间的单点集是开集).P73第2.4节2.设X是一个拓扑空间,,ABX,证明:(1)xX是集合A的凝聚点当且仅当x是集合Ax的凝聚点;(2)如果dABA,则B是一个闭集.证(1)若xX是集合A的凝聚点,当且仅当对任意的UUx,有UAx,由AxAxx,从而UAxx,即x是集合Ax的凝聚点.(2)因为dABA,所以dBdAB,即dBB,故B为闭集.3.证明:闭包运算定义中的Kuratovski公理等价于条件:对任何,ABX,*****AcAccBcABc.证“必要性”若Kuratovski公理成立，则对任意,ABX，********AcAccBcAcBcABcABc；“充分性”若对任意,ABX，有*****AcAccBcABc，则令AB，有******cccccc；令AB，有**********AcAccAcAccAAcAcAccA，并且***ccAcA，所以***ccAcA。由以上结果有********cABcABcAcAccBcAcB，故Kuratovski公理成立。4.设X是一个拓扑空间；A是X的一个任意子集簇，其中指标集非空；,ABX。证明以下三个包含关系，并举例说明每一个包含关系都不能改为等号：(1)AA;(2)AA;(3)ABAB.证(1)因为任意,AA,从而AA,因此AA;(2)因为任意,AA,从而AA,因此AA;(3)因为AABAB,所以ABABABBABABBAB.例(1)和(2)的例子可参考本节的补充例题中的例.(3)为殴氏度量空间所诱导的拓扑空间,1110,1,,10,0,222ABAB,但1110,1,10,0,222AB.6.证明:拓扑空间中的每一个子集的导集为闭集当且仅当此空间的每一个单点集的导集为闭集(此即为杨忠道定理).证明:“”是显然的.“”设拓扑空间X的每一独立点集的导集为闭集,对任意的XA,设Addx,对x的任意开邻域U,xAdU.因)(xd是闭集,且xdx,令xdUV,则V是x的开邻域,从而有xAdVy.因为xdyVy,且xy,于是存在y的开邻域W,使得Wx,因为V和W都是y的开邻域,故WVK也是y的开邻域,由Ady,所以存在yAKz.由xzWKz,,因此xAUz,故xAU,即Adx,所以AdAdd,即Ad是闭集.“证法2”任取,xdA由于dAAAAdA,故xAdA.若xA,则xdA;若xA,我们只需证xdA.实事上,由于dx是闭集,故GdxPUx.对任意的UPUx,令VUGPUx.由于xdA,故VdA.取yVdA,则yVU且ydA.于是UAy,再分两种情况来考虑:(1)yx,则已有xydA.(2),yx令Wx,由于,yVGdx故,yxdxx于是WPUx,且UWAy,而,xW故.UAxUWAxUWAUWAy从而xdA.这就证明了dAdA,故dA为闭集.注:dA不是闭集的例子:设1,2,3,XP,,1,2,3,1,2,XA则3dA不是闭集,事实上,23d也不是闭集.对于度量空间,容易验证每个单点集x的导集dx,所以度量空间的每个子集的导集是闭集.事实上,设,X是度量空间,x是,X的单点集.对任意的yx,yx,记,0xy,则,2Byx,即x是开集,从而x是闭集.再证,X的每一子集的导集都是闭集.设P是由X的度量诱导出来的拓扑,由上述结论知,作为拓扑空间(X,P)的每一单点集都是闭集,即若x是(X,P)的独点集,则dxx,又xdx,所以dx,因此(X,P)中每一单点集的导集都是闭集.由第6题(即杨忠道定理)的结论知,(X,P)中每一子集的导集都是闭集,所以,X中的每一子集的导集都是闭集.8.证明度量空间的每一独立点集都是闭集,并且每一子集的导集都是闭集.证明:设,X是度量空间,x是,X的独立点集.任意的xyxy,,记0,yx,则xyB2,,即x是开集,从而x是闭集.下面证明,X的每一子集的导集都是闭集.设是由X表及里度量诱导出来的拓扑,由度量空间的每一独立点集都是闭集知,拓扑空间,X的每一独立点集都是闭集,即若x是,X的独立点集,则xxd,又xdx,所以xd,因此,X中每一独立点集的导集都是闭集.由本节第6题的结论知,X的每一子集的导集都是闭集.补充例题1.设X是一个拓扑空间;A是X中的是个子集簇,证明:a)iAA．而当，为有限时iAA,举例说明当为无限时上述包含关系可以是严格的．b)AA,即使当为有限时,这一包含关系也可能是严格的.c)对内核，写出对应的包含关系．证明a)AAAA,此关系对一切成立，所以iAA.现在,如果有限,则,AAAA但A作为有限个闭集的并是闭的，故AA从而它们应该相等．下面我们给出为无限时严格包含的例子．设2XR，并对pN定义11,pAqNpq于是有集簇新ppNA.现在1,0ppAAp.而ppNA显然包含ppNA中的所有元，此外还包含10,qNq和0,0.b),AAAA,但A是闭集,因此AA.在R中,考虑1212120,1,1,2,1AAAAAA.c)对已得的结论取补集,可得AA(但为有限时成为等式).P78第2.5节2.设X是一个拓扑空间,XBA,,证明:(1)AAAAAA0,;(2)AAAA,0;(3)000,BABABABA;(4)A当且仅当A是一个既开又闭的集;(5)AA;(6)BABABABA.证明:(1)AXAAAAAAAAA;0''''AAAAAAAAAAAA00AA(2)AAAAAAAA'''000AAAAAA''.(3)BABBAABABBAABABABABABA''