特殊三角形讲义

1特殊三角形讲义【知识点精析】一、等腰三角形1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。4.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。5.等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。6.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。二、直角三角形1.认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。2按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点：在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。3三、勾股定理及逆定理一、勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：在△ABC中，∠C=90°（已知）222cba证明：进行图形拼接用面积法证明.制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.abbbbaaacccc二、勾股定理的应用：（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为n的线段.三、勾股定理的逆定理4如果三角形的三边长a、b、c满足222cba那么这个三角形是直角三角形.1．勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；2．勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1．先找出最大边（如c）；2．计算2c与22ba，并验证是否相等.若222bac，则△ABC是直角三角形.若222bac，则△ABC不是直角三角形.注意：（1）△ABC中，若222cba，则∠C=90°；而222acb时，则∠A=90°；222bca时，则∠B=90°.（2）若222cba，则∠C为钝角，则△ABC为钝角三角形.若222cba，则∠C为锐角，但△ABC不一定为锐角三角形.三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.四、全等三角形的概念、性质与判定1.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。2.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。3.全等三角形的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS”）；5（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）；（4）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS”）；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL”）。4.常见的一个三角形经过变换得到另一个全等三角形。（1）平移（2）翻折（3）旋转5.判定两个三角形全等所需条件：（1）需要三个条件；（2）至少有一个条件为边。注意：“边边角”不一定成立。6反例：如图，△ABC与△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠ABC＝∠ABC'，但△ABC与△ABC'不全等。【典型例题分析】例1.（2005年苏州）如图，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD＝________。7例2.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，AD＝8，∠A＝30°，求CD的长。CDABE例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE＝CD，又BD与CE交于点F，试求∠BFE的度数。AEDFBC例4已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，BD210，求其斜边AB长。8AGDBEC例5如图所示，点F为Rt△ABC的斜边AB上的中点，CD=FB，DF的延长线与CB的延长线相交于点E，求证：2E=A。ADFEBC例6Rt△ABC中，AB=AC，A=90°，点D在BC上，DFABFDEACE于，于；M为BC中点，请判断EF的形状，并说明你的理由。AEFBDMC例7作长为532、、的线段.9例8如图所示，已知：∠ABD=∠C=90°，AC=BC，∠DAB=30°，AD=8，求BC的长.CABD例9若a、b、c是△ABC的三边，且满足442222bacbca，试判定三角形的形状.例10如图所示，已知△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上中线DG=8cm.求证：△DEF是等腰三角形.EGFD10例11如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上的任一点.求证：22ABDCBDAD.例12.（2005年安徽）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明。例13.如图，B是AC上一点，DA⊥AC，EC⊥AC，DB＝BE。问：11在条件中再补充一个什么等量关系，可以得到△DAB≌△BCE，并加以证明。【综合练习】一.填空题1.直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为。2.已知，Rt△ABC中，BD为斜边AC上的中线，若∠A＝35°，那么∠DBC＝。3.已知，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠ACD＝35°，那么∠DBC＝。4.△ABC中，∠C＝90°，AB＝c,BC＝a,AC＝b,c＝34,a∶b＝8∶15,则a＝。5.在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把Rt△ABC沿CE折叠，点A与点B恰好重合.如果AC=4cm，那么AB=___________.二.选择题126、等腰三角形的腰长为32，底角等于30°，那么底边长为（）A.3B.33C.63D.67、如图，BE、CD分别是△ABC的两条边上的高，M是BC的中点，则△DEM是（）A.不等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形8、如图所示，△ABC为等边三角形，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=19，DF=89，则△ABC的周长为（）A.216B.3216C.648D.3324BDCEGFA三、解答题1.已知，如图，D、E是BC上两点，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CEABDEC2.已知，如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F，又BD＝CE，求证：DF＝EF13ADBCEF3.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：AD＝CEABDCE4.已知，如图，△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，又∠C＝15°，EC＝10，求AB的长。ADBCE5、某块绿地形状如图所示,其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD,AB＝200,CD＝100,求AD、BC的长。146、如图所示，已知：∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的面积.ABDCE7、如图所示，已知正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在CD上，且DF=3CF，求证：AE⊥EF.ABCDEF8、如图所示，△ABC中，2AD=DC，且5BC2CD3BD，，，求AB及高AE.159、在正方形ABCD中，F是AD上一点，且aAD41DF，E是CD的中点.求证：BE⊥EF.10.已知：如图，AC⊥OB，BD⊥OA，OB＝OA，求证：BC＝AD。11.已知：如图，BE⊥AC，DF⊥AC，BE＝DF，BC＝AD。图中共有多少对平行线？试选其中一对加以证明。16