第4章矩阵的特征值

山财大数学与数量经济学院杨素香1第四章矩阵的特征值本章要点：1.特征值与特征向量及其求法2.矩阵的相似3.实对称矩阵的相似矩阵的特征值是代数学的重要内容之一，在经济理论研究及其他学科中都有广泛的应用。特征值特征向量方阵对角形(或约当形)相似于对角形元素转化矩阵山财大数学与数量经济学院杨素香2第一节矩阵的特征值与特征向量一.矩阵的特征值与特征向量则称λ为A的一个特征值，定义4.1设A为n阶方阵,λ是一个数,若存在非零列向量x,使得1()Axx1.特征值与特征向量的概念对应于特征值λ的特征向量，简称为A的特征向量。非零向量x称为矩阵A的11,41A例.求方阵111,1,2由于1111111,41222A221113133,41262A所以11是A的一个特征值，而的特征向量112是A的属于11221,3,2所以23是A的一个特征值，而的特征向量212是A的属于2332.求法整理（1）式,得()(2)Axo特征向量可看成方程组(2)的非零解.x0A特征向量方程组(2)的非零解.特征值转化存在条件确定1()Axx山财大数学与数量经济学院杨素香4总结求矩阵特征值与特征向量的方法:第一步:令0A求特征值.第二步:对于每一个,求Axo基础解系,第三步:基础解系的非零线性组合为A对应于的全部特征向量.山财大数学与数量经济学院杨素香5A0A3.其它相关的概念定义4.2设A为阶方阵,A(λ的n次多项式)行列式特征方程的根λ对应的x()Axo特征矩阵特征多项式特征方程特征根特征向量0A山财大数学与数量经济学院杨素香75.举例122311221A例1.求三阶方阵的特征值及特征向量.122311221A解(1)先求特征根矩阵A的特征多项式为122(3)1111212(3)(3)由得A的特征根1233,3.0A3001302213山财大数学与数量经济学院杨素香81233,3131)当时,齐次线性方程组(3)Axo,即123422034102240xxx的一个基础解系为111,1的全部特征向量为则对应于13111(0).cc2332)当时,齐次线性方程组(3)Axo,即123222032102220xxx的一个基础解系为212,1的全部特征向量为则对应于222(0).cc233山财大数学与数量经济学院杨素香11的特征值及特征向量。求三阶方阵例1630530643A解163053064AI18)5)(4()1()2)(1(20)2()1(2.21321，的特征值为A山财大数学与数量经济学院杨素香12123360x0360x0360x0的一个基础解系为100,01221的全部特征向量为对应于因此，121A),(212211不全为零cccc123660x0330x0363x0的一个基础解系为1113的全部特征向量为对应于因此，23A)0(3cc，即齐次线性方程组对于0)(,121xAI1)，即齐次线性方程组对于0)2(,23xAI2)山财大数学与数量经济学院杨素香13aAaa例4.求三阶方阵的特征值及特征向量.aAaa解(1)先求特征根3()0a得A的特征根123.a山财大数学与数量经济学院杨素香14所以任意含三个向量的三维向量组都是它的基础解系,123.a当时,齐次线性方程组()Axo,即123aoxo1221000,1,0001作为其基础解系.取三维初始单位向量组112233123(,,cccccc不全为零)的全部特征向量为则对应于123a(2)再求特征向量山财大数学与数量经济学院杨素香15例5.证明：三角形矩阵的特征值是主对角线上的n个元素.证明:不妨设11121n222nnnaaa0aaA,00a11121n222nnnaaa0aaIA00a1122nnaaa0得A的全部特征值111222nnna,a,,a.山财大数学与数量经济学院杨素香17二.特征值与特征向量的基本性质12110是特征值，是其特征向量，定理4.1n阶方阵ATA有相同的特征值.与它的转置矩阵证明考察它们的特征多项式.TTAAA这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同.注:A与AT有没有相同的特征向量呢?看下面的例子:1101A，设110111011010TA结论:A与AT特征向量不一定相同的.山财大数学与数量经济学院杨素香18线性代数讲义第五章第一节矩阵的特征值与特征向量1142()(1)1(1,2,,)(2)1(1,2,,)(1,2,,)111,2,,ijnijjnijikkAanainajnAknkn定理.设是阶方阵，如果中有一个成立，则矩阵的所有特征值的模小于，即山财大数学与数量经济学院杨素香21121212111212122212,,,,,,,,,,,,,,,,,,immiiitittmmmtnAA推论：设是阶方阵的互异的特征值，为的对应于的线性无关的特征向量，则向量组线性无关.定理4.3：n阶方阵A的互异特征值所对应的特征向量组成的特征向量组线性无关.12,,,m是n阶方阵A的互异特征值，12,,,m为A的分别对应于12,,,m的特征向量，即：设12,,,m线性无关.则山财大数学与数量经济学院杨素香22第五章第一节矩阵的特征值与特征向量结论：1）为的特征值.kkA2）为的特征值kAk3）为的特征值.1＋AI＋112212()nnntrAaaa4)125)nA＝12,,,n6)若A可逆，为其特征值，则12111n，，，为的特征值，1A12nAAA，，，A为的特征值。山财大数学与数量经济学院杨素香23111212122212nnnnnnaaaaaaIAaaa证明：为证明（4）与（5），考虑特征多项式1122()()()nnaaa为其展开式中的一项，则其余的项至多含有(n－2)个主对角线上的元素，即在其余的项中的次数最高为(n－2)1122()()()nnaaa所以，的大于(n－2)次的项只能出项在山财大数学与数量经济学院杨素香24112211122()()()()nnnnnnaaaaaa而1211212()()()()(1)nnnnnnIA又112212()nnntrAaaa所以有12120(1)nnnAA令＝，即有＝，即＝山财大数学与数量经济学院杨素香25例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求(1)2A的特征值,(2)A2的特征值,(3)|A|.例2.试证:n阶方阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.解12nA定理4.4：若是方阵A的重特征值，则A的属于的特征向量组的秩00.kk山财大数学与数量经济学院杨素香26三.杂例例1.设矩阵1232,4,,有特征值为1333366Aab求参数a,b的值及3.解:由1333323662Aab()().3540ab2333343664Aab()().3540ab得,.-54ab又,一方面()11540trAab另一方面(),123324trA故.32山财大数学与数量经济学院杨素香27例2.已知11,1x的一个有特征向量为2125312Aab求参数a,b的值及特征向量所对应的特征值.解设为特征向量x所对应的特征值,则,Axx即2121153111211ab2125312ab解得,,.301ab山财大数学与数量经济学院杨素香28例3.设A为四阶方阵,满足条件30,2,TAAA而且0.A求A的伴随矩阵的一个特征值.A解()(),433130AAA故A有一个特征值为.32,TAA又2216,TAAA所以4.A得0,A因为4.A所以.43A有一个特征值为于是,A山财大数学与数量经济学院杨素香294.2相似矩阵一相似矩阵及其性质1.定义定义1.A与B为n阶方阵,若存在一个可逆矩阵使得,P1,PAPB称A相似于B，记作.AB例如,12,34A381021643B25,13P令135,12P则135122538102.1234131643PAP.AB从而山财大数学与数量经济学院杨素香302.矩阵相似关系的性质AA(1)自反性(2)对称性AB，.BA则若.AC(3)传递性,ABBC，若则3.矩阵相似的其它性质.AB则AB，若(1)()().rArB则AB，若(2)AB，若(3)则或者都可逆，或者都不可逆,AB而且当它们可逆时,11~.ABAB，若(4)则~.kkAB山财大数学与数量经济学院杨素香314.矩阵相似与特征值的关系定理1若n阶方阵Ａ与B相似,则A与B有相同的特征值.注:逆命题不成立,即A与B有相同的特征值,但A与B不一定相似例如,30,03A3103B对于任何可逆矩阵P,1.PAPAB推论()().ABtrAtrB证明相似与BAIB1PIAP1PIAPBAPPP1,使得可逆阵IA这说明它们有相同的特征多项式,所以特征值相同.11PIPPAP1IPAP山财大数学与数量经济学院杨素香32二矩阵可对角化的条件定义:若A相似于一个对角形矩阵,则称A可对角化.定理5.5n阶方阵A相似于对角形矩阵12n的充要条件为A有n个线性无关的特征向量.山财大数学与数量经济学院杨素香33()(),121212nnnAxxxxxx