第一讲-函数及其表示

第一讲函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()3．函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域是________________．4．已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．设函数f(x)＝x，x≥0，－x，x0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.2．已知f1x＝x2＋5x，则f(x)＝________.考点一函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)2．函数y＝1－x22x2－3x－2的定义域为()A．(－∞，1]B．[－1,1]C．[1,2)∪(2，＋∞)D.－1，－12∪－12，13．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2017]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是()A．[0,2016]B．[0,1)∪(1,2016]C．(1,2017]D．[－1,1)∪(1,2016]4．函数f(x)＝1－|x－1|ax－1(a＞0且a≠1)的定义域为____________________．[谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．考点二求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．[由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．考点三分段函数题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2017·西安质检)已知函数f(x)＝log2x，x0，3x＋1，x≤0，则ff14的值是________．角度二：分段函数的自变量求值问题2．已知f(x)＝x12，x∈[0，＋∞，|sinx|，x∈－π2，0，若f(a)＝12，则a＝________.角度三：分段函数与方程、不等式问题3．已知函数f(x)＝x2＋2ax，x≥2，2x＋1，x2，若f(f(1))3a2，则a的取值范围是________．[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．已知函数f(x)＝2x－2，x≤0，－log3x，x0，且f(a)＝－2，则f(7－a)＝()A．－log37B．－34C．－54D．－742．设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.23，1B．[0,1]C.23，＋∞D．[1，＋∞)3．已知函数f(x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(x－90)＝lgx，x0，－x，x≤0，则f(10)－f(－100)的值为________．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f(x)＝x＋3＋log2(6－x)的定义域是()A．(6，＋∞)B．(－3,6)C．(－3，＋∞)D．[－3,6)2．已知f12x－1＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于()A．－74B.74C.43D．－433．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝x＋2，则f(x)＝()A．x＋1B．2x－1C．－x＋1D．x＋1或－x－14．已知f(x)满足f3x－1＝lgx，则f－710＝________.5．设函数f(x)＝1x，x1，－x－2，x≤1，则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．能力提升1．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为()A．－2B．2C．－2或2D.22．f(x)＝13x，x≤0，log3x，x0，则ff19＝()A．－2B．－3C．9D．－93．函数f(x)＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[0,1]D．[1，＋∞)4．已知函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝f3xx－1的定义域是()A.0，13∪13，1B．[0,1)C．[0,1)∪(1,3]D．[0,1)∪(1,9]5．已知具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－1x；②y＝x＋1x；③y＝x，0x1，0，x＝1，－1x，x1.其中满足“倒负”变换的函数是()A．①②B．①③C．②③D．①6．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)131x123g(x)321则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))g(f(x))的x的值是________．7．已知函数f(x)＝a－1x＋1，x≤1，ax－1，x1，若f(1)＝12，则f(3)＝________.8．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．9．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________．10．如图，已知A(n，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.(1)求反比例函数和一次函数的解析式．(2)求△AOC的面积．