2离散时间的动态最优化问题

第二讲：离散时间的最优化问题一、对库恩－塔克条件的进一步说明上一次讲的库恩塔克条件中的互为松弛条件是0)]([2,1xxga(15)不等式约束实际上包括两种情况，一种是等式成立，另一种是不等式成立对前一种情况，即在(15)式约束中，如果约束条件中的等号成立，则库恩塔克条件自然满足，即库恩塔克条件等价于用拉格朗日乘数法获得的最优化的一阶条件。对后一种情况来说，如果约束条件中的等式不成立，则最优解必在区间内。这时，带有不等式约束的最优解与无约束解是一样的。根据最优化解的必要条件，则一阶偏导数必为零，即：011＝xgxf（11）’且022＝xgxf根据隐函数存在定理的要求，1xg和2xg不能同时为零。在经济学中，该条件一般是成立的，例如，消费者预算约束Cbxaxxxg2121),(,C0,而a,b一般不会同时为0，所以，1xg和2xg不同时为0,则必有0＝。所以，无论那种情况，库恩塔克条件都成立。二、动态最优化问题与静态最优化不同，动态最优化是指在一个随时间变化的过程中，选择一条随时间变化的路径，当变量沿着该路径变化时，目标函数达到最大值。因此，动态最优化问题与静态最优化问题的不同之处，主要在于静态最优化问题的解是一个点，于时间无关，而动态最优化问题的解是一条依赖于时间的路径，实际上是一条曲线。一般来说，这类问题可以分两种情形讨论。第一种情形是时间是离散的，即将一段时间划分为几个不同的区间，有限个或无限个区间都可以。第二种情况是时间是连续的，要求一段时间的任意时刻目标函数达到最优解。对于离散时间的最优化问题，一般来说，常用的方法有两种，一种是直接建立拉格朗日函数，用拉格朗日乘数法求解。另一种是建立一个贝尔曼（Bellman）方程，将最优化问题变成一个两期问题求解。对于连续时间的最优化问题，常用的方法也有两种，一种是变分法，是利用泛函分析的方法，把时间路径看成泛函问题的最优解。另一种方法是汉尔米顿（Hamilton）法，事实上是拉格朗日乘数法的推广和变种。本节将首先讨论一下离散时间的最优化问题，而将连续时间的最优化问题留给下一讲。下面，结合某些具体经济问题，理解离散最优化方法的思想和具体步骤。三、离散时间最优化问题的两种解法（以消费资产定价模型为例）1.现代生命周期理论问题的提出现代生命周期理论是有莫迪利安尼（1963）在50年代和60年代首先创立的，其最最初形式是确定性、非随机的。后来，在理性预期学派的影响下，大约在1978年，由霍尔（Robert.Hall）成功地给出了生命周期函数的现代形式，即随机的生命周期函数。该理论解决了现时消费与未来消费或储蓄之间、同一时期不同类型储蓄资产之间的配置关系。为说明现代生命周期理论，做如下假设：1)消费者的偏好可以写成：Ut=Et{f(q1,q1，…，qt,…,qT)}其中，Ut是t时期的效用，Et是在t时期利用了所有可得到的信息的（理性）预期算子，q1,q1，…，qt,…,qT是从时刻1到T的消费品向量，f(•)是一个对各自变量均非递减的凹函数。该函数计算的效用是在确定性条件下从消费向量得到的，它代表了消费者一生中的消费效用，下标表示年龄的大小，1表示出生日，T表示死亡日。因为决策是在面对未来的不确定情况下做出的，所以，用预期算子表示消费者目标是期望效用最大化。2)为了简单起见，设效用函数满足时际可加性条件，即Ut可以写成：Ut=EtTtrVt(qt)由于效用函数是时际可分离的，所以一生效用极大化的含义可简化成两个问题：第一步，求每个时期的子效用函数Vt(qt)的极大化。因为整体的最优化必然对每个时期而言是最优的，否则，总可以通过对该时期的最优化加以改进。而在每个时期的最优化时，无需考虑跨时期的支出总量；第二步，考虑整个生命周期内总消费使总效用函数达到最大化。第一步，要解决的问题是t时期的效用最大化：maxVt(qt)s.t.ptqt=Ct这是一个静态最优化问题。其中，pt是对应于qt的价格向量，Ct是t时期的消费支出总额。由于消费者不知道Ct（Ct将通过进一步的时际选择问题来决定），所以，我们在关注t时期的商品需求分析的同时也要进行跨时期的消费需求分析。第二步，t时期消费Ct由下列时际配置决定：用ψ(Ct,pt)表示t时期的效用最大值（第一步最优化），即标准的间接时际效用函数。原来的时际效用函数就可以写成：Ut=EtTtrVt(qt)＝EtTtrψ(Ct,pt)该效用最大化问题的约束条件由下列关于资产的递推方程给出：At+1=Nt(Pt+1+dt+1)NtPt=At+Yt+Ct对所有的t到T都成立。由于Nt=（At+Yt+Ct）/Pt，这两个方程可以合并为：At+1=（At+Yt+Ct）[(Pt+1+dt+1)/Pt]显然，这是一个关于两个时期的不同资产At和At+1的递归方程。其中At表示t时期初始资产价值，Nt表示价格为Pt的资产名义持有量，dt是在t时期开始前资产的红利，Yt是t时期的收入。3)一般情况下还假设消费者的最终资产为正，即：AT+1≧02.离散时间动态最优化解法之一：拉格朗日乘数法这该最优化问题就可以写成：目标函数：MaxUt=EtTtrVt(qt)＝EtTtrψ(Ct,pt)约束条件：S.T.At+1=（At+Yt+Ct）[(Pt+1+dt+1)/Pt]建立拉格朗日函数：L＝EtTtrψ(Cr,pr)＋Ttrλr{Ar+1-[(Pr+1+dr+1)/Pr](Ar+Yr+Cr）}该问题的一阶条件是：0CrL111),(rrrrrrrpdpCpC01rALttrttrpdp111rrrrCpC111),(＋＋＋rrrrrrrrrpdpCpCCpC11111),(),(这就是欧拉方程，也是关于消费演进的差分方程。3．离散时间最优化问题解法之二：Bellman方程法Bellman方程的基本思路是将n期的离散时间最优化问题转化成两期问题来解决。首先定义价值函数：TsrrrrsssspCEAVV),(max)(,s=t,t+1,t+2,…，T。这里称Vs是s时的价值函数，它显然依赖于s期的财富As。有了价值函数之后，消费者的效用就可以写成贝尔曼（Bellman）方程的形式，即t期的价值(即t期的总效用)等于t期的即时效用与t+1期的价值（即t期的总效用）：该问题的逻辑思路是一种被称作倒向递归技术，沿着这种思路，数学家已经取得了重大进展，产生了倒向随机微分方程的新领域。我国数学家在这方面的研究已经处在世界领先地位，我的一位同班同宿舍的同学因此还获得了中国自然科学杰出青年基金。消费者在t期构想（T－1）期的情况，即构造资产向量Nt-1的组合，使VT－1达到最大。其中，TTTTTTYTTTTNTTdpNVEppNyAAV111111111),(max)(－获得了（T－1）时期的价值之后，接下来就要对（T－2）时期的资产进行配置。按照类似于上面的做法，获得（T－2）时期的价值，即求解问题：1121122222222),(max)(－－－－－TTTTTTYTTTTNTTdpNVEppNyAAV如此类推下去，当消费者递归到t时，消费者面临的问题就是简单的“今天和明天”之间的权衡了。因此，资产向量组合Nt就是下列最优化问题的解：111),(max)(tttttttttttNttdpNVEppNyAAV求解上述最优化问题，问题至少可以得到一下两个结论：第一，通过对资产组合选择的最优化，即对N求导，可以得到关系：111'11)(),(tttttttttdpAVEpCpC第二，对每个价值函数)(ttAV求导，可得：ttttCAV)('，或者，111'1)(＋＋＋＋ttttCAV以上两式结合起来，可以得到欧拉方程：11111),(),(ttttttttttdpCpCEpCpC＋＋＋令λt=)('ttAV=dψ(Ct,pt)/dCt，Rt+1=(Pt+1+dt+1)/Pt是资产报酬系数则，λt表示每增加一个单位的消费而增加的价值，即边际价值或边际效用，欧拉方程可以简写为：λt=Et(λt+1Rt+1)欧拉方程不仅仅提供了消费资产定价的标准结论，即现在消费和未来消费的边际替代率应等于资产的相对价格(资产收益率)Rt+1，而且由于该方程将消费者决策置于多个时期框架里，它有助于认识未来资产报酬和货币价值的不确定性。它不仅可以应用到消费和储蓄的决策方面，同时也可以用于资产定价。因此，该模型常被称为消费资产定价模型。四.消费资产定价模型的几种特例：霍尔（Hall,1978）在它的开创性论文中，假定价格和利率固定不变，消费仅受到收入的随机影响，并将时间偏好率引入目标函数，得到了如下特殊形式的欧拉方程：EtU’(Ct+1)=(1+δ)U’(Ct)/(1+r)由于消费资产定价模型中，消费的边际效用依赖于消费者的偏好形式，不同的消费者偏好可能达到不同的边际效用，因此，从欧拉方程中可以根据效用函数的具体形式获得不同的消费函数形式。具体地说，经常用到的消费函数形式有以下几种：1．如果效用函数是二次函数，U(Ct)=-(1/2)(C-Ct)2,C表示消费的极乐水平，则消费变化遵循以下回归方程：Ct+1＝β0＋β1Ct＋εt+1中国农村消费函数(1987-1999)为：Ct+1＝118.8＋0.9778Ct,R2=0.94(1.58)(13.4)中国城镇消费函数(1987-1999)为：Ct+1＝241.5＋1.029Ct,R2=0.975(1.75)(20.06)2．如果消费函数具有不变替代弹性形式，U(Ct)＝Ct(σ－1)/σ,则消费函数的变化遵循回归方程：Ct+1-1/σ＝βCt-1/σ＋εt+1或者写成对数形式：lnCt+1＝g+lnCt＋εt+1上式意味着居民消费的增长率以常数g为中心随机波动，但是，下表中的数据表明消费增长率是常数的假设不能成立。年份居民消费居民消费增长农村城镇农村城镇1987398.29884.41988476.661103.9819.676624.82811989535.371210.9512.3179.689491990584.631278.899.201115.610471991619.791453.816.0140613.67751992659.011671.736.3279514.98961993769.652110.8116.788826.26519941016.812851.3432.113335.082719951310.363537.5728.869724.066919961572.083919.4719.973110.795519971617.154185.642.86696.7909719981590.334331.61-1.65853.4874199915774616-0.83826.56546资料来源：《中国统计年鉴》1999，《中国统计摘要》2000。3．如果消除霍尔关于利率为常数的假定，引入可变的价格和利率，又可以得到消费函数的更一般的形式：lnCt+1＝a+lnCt+bln(1+rt+1)+εt+1或者lnCt+1-lnC＝a+bln(1+rt+1)+εt+1对应的农村消费函数(1987-1999)是：lnCt+1-lnCt＝-0.1387+3.264ln(1+rt+1),R2=0.58(-1.86)(3.719)对应的城镇消费函数(1987-1999)是：lnCt+1-lnCt＝-0.08+2.858ln(1+rt+1),R2=0.534(-1.126)(3.39)上面各式是消费增长与名义利率的关系，可以看出消费