材料力学第06章(弯曲变形)-06

§6–1工程中的弯曲变形问题§6–2挠曲线的微分方程§6–3用积分法求弯曲变形§6–4用叠加法求弯曲变形§6–5简单超静定梁§6–6提高弯曲刚度的一些措施第六章弯曲变形§6–1工程中的弯曲变形问题PABlPl研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（由变形几何条件提供补充方程）。1.挠度w：2.转角：二、挠曲线：变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：w=f(x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量tan条件：小变形PxwwCC1与w同向为正，反之为负。ddxw横截面形心在垂直于x轴方向的线位移。横截面绕其中性轴转动的角度。反时针转动为正。§6–2挠曲线的微分方程zEIMρ1在纯弯曲时EIz梁的抗弯刚度。MMθdd23)1(12wwρ由§6–2挠曲线的微分方程zEIxMρ)(1在横力弯曲时，忽略剪力对梁位移的影响或：23)1(12wwρzEIMρ1在纯弯曲时Pxxwwx0w——挠曲线近似微分方程112wzEIxMw)(zEIxMww)()1(232∵在小变形的条件下，zEIxMw)(0w取“+”取“+”wx0M0MMMMM)(xMwEI对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：xxMwEId)(EIw§6–3用积分法求弯曲变形积分常数C、D由边界条件确定。CCxDxxxMd)d)((求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。（1）建立坐标系并写出弯矩方程)()(xlPxM（2）写出微分方程并积分（3）应用位移边界条件求积分常数)(xMwEIwEI361Px0D0C解：[例6-1]P180当x=0时，w=0，xwxPlABθ=w´=0PxPlPxPl221PxPlxCEIwCxD221Plx(4)写出弹性曲线方程并画出曲线)3(632xlxEIPw)(33maxEIPlw(5)最大挠度及最大转角xwPl)2(22xlxEIPABθmaxwmaxx=l时，)(22maxEIPl[例6-2]222)(xqxqlxM解：)(xMwEI24xqlwEI312xqlEIw边界条件:当x=0时，w=0(1)当x=l时，w=0(2)由（1）得：D=0由（2）得：Cllqql4424120243qlC求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。qABxxw2qlRRBARARB222xqxql36xqC424xqCxDl24641332qlxqxqlEIxqlxqxqlEIw2424121343时，和当lxx0时，当2lx)(38454maxEIqlwEIql243max最大挠度及最大转角xqABwBwmaxAl[例6-3]11)(xRxMA解：)(11xMwEI12112CxRwEIA1113116DxCxREIwA)()(222axPxRxMA)(22xMwEI2222xRwEIA2223232)(662DxCaxPxREIwAPlbRAlPABDabRARBxx1x2求梁的挠曲线方程和转角方程、最大挠度及最大转角。1xRA)(22axPxRA22)(2axP2CwlPABDabwxx1x2边界条件:当x1=x2=a时，w1=w2(3)当x2=l时，w2=0(2)连续条件:当x1=0时，w1=0(1)光滑条件:当x1=x2=a时，w´1=w´2(4)ABDabRARBABDabRARB由（4）得：C1=C2由（3）得：D1=D2由（1）得：D1=0，∴D2=0由（2）得：0)(6623322lCalPlREIvA)(62212bllPbCC)(bal)(PlbRA确定最大挠度及最大转角ABDabx1x2lwx当x1=0时，θA=)(6blEIlPba当x2=l时，θB=)(6alEIlPabBbamax0,0BA0)(3baEIlPbaD∴最大挠度发生在AD段。01w令3220blx得322max)(39blEIlPbw得)43(48222blEIPbwlllxb577.03,00EIPblw392maxEIPblwl48322%65.222maxll时当baEIPlfwl/4832maxEIPl162max梁的刚度条件maxww≤max≤PABlPl其中[]称为许用转角；称为许用挠度。w桥梁工程对)1000~250(][llwPl桥式起重机对)750~500(][:llwPABlP一般用途的轴对)100005~100003(][:llw齿轮或轴承处对rad001.0][:§6–4用叠加法求弯曲变形叠加原理:多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。叠加原理的使用条件：小变形、材料在线弹性范围内工作。P=BAqPACB+ABq按叠加原理求C点挠度和A点转角。解、(1)载荷分解如图(2)查表计算简单载荷引起的变形。EIaPwCP48)2(3EIaqwCq384)2(54+=wCPwCqEIPa63EIqa2454CqCPCEIPa63)([例1]EIqa2454BqPACaaPBAABqAqAPA)43(122qaPEIaEIPa42EIqa33EIaPAP16)2(2EIaqAq24)2(3+ABqP=BAθAqθAP利用变形表求B点挠度。[例2]BPPACaa变形表：EIFlfB33EIFlB22BFAlfBθBBPPACaaBPACBPACaaf1f2θc1变形表：EIFlfB33EIFlB22BFAlfBθB解:1fEIaPf3)2(32EIPa653EIPa65321fffBEIPa6113)(EIPa383EIPa33afcc1121fffBEIPa383aEIPa22BPACBPACaaf1f2θc1BFAlfBθBEIPawG1211321ww22wwG)([例3]按叠加原理求跨中G点挠度。PACPEDGaaaPACaaaACPaaaw1w212wwG解：∴查第190页第9栏EIPa24233]48)4)3(3([222EIaaPa22w用逐段刚化法求B点挠度。=+PlaABCBCPaw1等价等价21PlaABC刚化AC段w1PlaABC刚化BC段w2PACM=Paw2C[例4]EIPaw331BCPaw1PACM=Paw2CawC2aEIMl3EIPla3221EIPa33EIPla32aEIlPa3)()(PlaABC解：[题6.13](P202)求跨中C点挠度。FACaDBaaaF/2wBCDBaaF/2wBCDBaaF/2wB1CDBaaF/2wB2CDBaaFa/2[题6.20](P205)FACB2aa求C点的水平和垂直位移。[题6.20](P205)FACB2aa求C点的水平和垂直位移。[题6.20](P205)FACB2a求C点的水平和垂直位移。M=FaABM=Fa§6–5简单超静定梁AqlBAqlB静定梁超静定梁一次静不定静定梁超静定梁一次静不定AA解题步骤：(4)比较原系统和相当系统的变形，解出多余约束反力。RBAqlB用比较变形法解超静定梁（1）去掉多余约束得到静定基。qAB（2）加上原载荷。（3）加上多余约束反力，得到相当系统。（5）在相当系统上求其他量。已知：q、EI、l试画出梁的弯矩图0Bw=比较变形法EIlRwBBR3303834EIlREIqlBqlRB83qABqw+RBABBRwEIqlwBq84RBqlAB方向假设正确，向上解：BRBqB0变形协调方程：85qlRA82qlMA85qlxFS83ql+－xM82ql12892ql－+画剪力图和弯矩图qlRBABql83RAMAqlABqlxFS+xM22ql－最大弯矩将增加3倍3882222qlqlql若没有支座B，则梁内最大弯矩将增加：q变形协调方程：0AMAqA静定基的另一种取法：AqlBABlMALwB结构如图，求BC杆拉力。qFN=+L1EAqLABCEIFNABqABΔLB´解：NFqBEILFEIqL383N4变形协调方程：ABwBEALFEILFEIqL1N3N438∴[例10]EALFL1N∵=L1EAqLFNABCqAB=ΔLEIB´)3(8314NEILALIqLF解得：wB+FNABqAB[例6]30kNAB4m3m2m20kN/mCD已知：EI=5×103kN·m2。绘梁的剪力图和弯矩图30kNAB4m3m2m20kN/mCDFB30kN20kN/m[例6]MB30kNAB4m3m2m20kN/mCD已知：EI=5×103kN·m2。绘梁的剪力图和弯矩图解：AB4m3m2mCD变形协调方程：30kNAB4m3m2m20kN/mCD20kN/mMBAB4mB变形协调方程：BBEIMEIBB342410204EIMEIBB3556)25(233030kN3m2mCDMBB代入变形协调方程，解得：MB=－31.8kN·mB20kN/mMBAB4m30kN3m2mCDMBBM–+M–+FS–+FS–+30kNAB4m3m2m20kN/mCDFSM–++++––[单题6-20b](P198)求梁的支反力。ABaaqCAaqBBaC[单题6-20b](P198)求梁的支反力。ABaaqCAaqBFBBaCFBABl/2l/2C[题6-20a](P198)求梁的支反力。MeABl/2l/2CFCMC[单题6-20a](P198)求梁的支反力。MeABl/2l/2CMCMAABl/2l/2CMeMA=MC[例]如图所示的结构，AB梁为16号工字钢，I=1130cm4，W=141cm3，l=3m，CB杆为圆截面杆，直径d=20mm，l1=2m。材料均为Q235钢，E=210GPa，[]=160MPa。加载前螺母B刚与梁底面接触，螺母的螺距s=2mm。试调节螺母，使结构能承受的载荷q值为最大。问：（1）最大的q值为多大？（2）螺母应如何调节（拧紧或拧松）？调节多少圈？(不考虑弯曲剪应力强度)qABCll1EIlPw483maxABPl/2l/2maxwEImaxwl提高梁的刚度的措施：减小梁的跨度l、增大梁的抗弯刚度EI、改变梁的结构。§6–6提高弯曲刚度的一些措施zy在面积相等的情况下，选择惯性矩大的截面（1）合理选取截面形状zDyzhbzhb工字形、箱形截面比较好对于钢材，采用高强度钢可以大大提高梁的强度，但却不能提高梁的刚度，因为高强度钢和普通钢的弹性模量E值是相近的。EIPlw483maxABPl/2l/2不同类材料，E值相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原材料费用也会随之发生很大的改变！EIqLw43max1013EIqLw43max107875.0EIqLw43max10326.0qLL/5qL/5qL/2L/2（2）改变梁的结构